2.齐次线性微分方程

0.引言

  本节关于二阶微分方程，首先泛化欧拉方法到二阶。其次介绍了两个定理，叠加定理和Wronskian定理。

1.欧拉方法用于高阶微分方程

  对于二阶微分方程:
$$\ddot{x}=f(t,x,\dot{x})$$

求解方法是化为一组一阶微分方程
$$\dot{x}=u\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$\dot{u}=f(t,x,u)\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中$u=\dot{x}$。式(1）中的微分方程提供了曲线$x=x(t)$的斜率，式(2)中的微分方程提供了曲线$u=u(t)$的斜率。设初始值为$(x,u)=\left(x_0,u_0\right)$，则利用欧拉积分方法可以获得$t=t_1$时刻的值：
$$\begin{array}{l}{x}_1=x_0+\Delta t{u}_0\\ u_1=u_0+\Delta tf\left(t_0,x_0,u_0\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
注：理解$\dot{x}$和$x$是独立的。

2.叠加原理

  考虑齐次(等号右边为零)二阶线性ode:
$$\ddot{x}+p(t)\dot{x}+q(t)x=0\text{\hspace{1em}(4)}$$

有两个解$X_1(t)$和$X_2(t)$，则其线性组合
$$x=c_1{X}_1(t)+c_2{X}_2(t)\text{\hspace{1em}(5)}$$也是方程(4)的解。(代入容易验证)

3. Wronskian

  假定$x=X_1(t)$和$x=X_2(t)$是微分方程(4)的解。下面想把微分方程的通解写成:
$$x=c_1{X}_1(t)+c_2{X}_2(t)\text{\hspace{1em}(6)}$$的形式。因此，对于任意一个特解(其初始条件如下)：
$$x\left(t_0\right)=x_0,\dot{x}\left(t_0\right)=u_0\text{\hspace{1em}(7)}$$都有对应的$c_1$,$c_2$使得下式成立$$c_1{X}_1\left(t_0\right)+c_2{X}_2\left(t_0\right)=x_0,c_1{\dot{X}}_1\left(t_0\right)+c_2{\dot{X}}_2\left(t_0\right)=u_0\text{\hspace{1em}(8)}$$因此关于$c_1$,$c_1$的方程组(8)必有唯一解。因此有：
$$W=\left|\begin{array}{ll}{X}_1\left(t_0\right)& X_2\left(t_0\right)\\ {\dot{X}}_1\left(t_0\right)& {\dot{X}}_2\left(t_0\right)\end{array}\right|=X_1\left(t_0\right){\dot{X}}_2\left(t_0\right)-{\dot{X}}_1\left(t_0\right)X_2\left(t_0\right)\ne 0\text{\hspace{1em}(9)}$$上式中$W$被称为Wronskian。如果Wronskian不等于零，则两个解$X_1(t)$和$X_2(t)$是线性独立的。所有的二阶线性齐次ode的解构成了一个二维矢量空间。

3.1 例1

  对于所有的$\omega \ne 0$,两个解$X_1(t)=\cos \omega t$和$X_2(t)=\sin \omega t$对任意的时刻$t$都有非零的Wronskian

$$W=(\cos \omega t)(\omega \cos \omega t)-(-\omega \sin \omega t)(\sin \omega t)=\omega \text{\hspace{1em}(10)}$$

3.2 例2

两个解$X_1(t)=e^t$和$X_2(t)=2e^t$对任意的时刻$t$都有
$$W=0\text{\hspace{1em}(11)}$$
说明这两个解不是线性独立的。

3.3 例3

对于$X_1(t)=e^{at}$和$X_1(t)=e^{bt}$，对应的Wronskian为
$$W=(b-a)e^{(a+b)t}\text{\hspace{1em}(12)}$$

因此两个解线性独立的充要条件是$a\ne b$

4 齐次二阶常系数ODE

齐次二阶常系数ODE的形式为$$a\ddot{x}+b\dot{x}+cx=0\text{\hspace{1em}(13)}$$

其求解转化为求特征方程
$$a{r}^2+br+c=0\text{\hspace{1em}(14)}$$

注：这一转化是考虑指数函数性质后的一个自然而然的猜想。

4.1 两个不同的实根

此时，根据(12)，两个解线性独立，可以直接利用公式(6)获得通解。

4.2 复共轭根

假设复共轭根为
$$r=\lambda +i\mu ,\bar{r}=\lambda -i\mu \text{\hspace{1em}(15)}$$

对应的解为
$$z(t)=e^{\lambda t}{e}^{i\mu t},z(t)=e^{\lambda t}{e}^{-i\mu }\text{\hspace{1em}(16)}$$

上述的解是两个复数解。下面相求两个线性独立实数解：根据叠加原理，(16)的两个解的线性组合也是二阶齐次ode的解。因此可以构造如下两个实数解$$x_1(t)=e^{\lambda t}\cos \mu t,x_2(t)=e^{\lambda t}\sin \mu t\text{\hspace{1em}(17)}$$

则通解为
$$x(t)=e^{\lambda t}(A\cos \mu t+B\sin \mu t)\text{\hspace{1em}(18)}$$

注：
1.特征方程的根的实部反映在式(18)解的指数部分，虚部反应在三角函数部分。
2.(17)的推导还可以这样看:
复数解(16)是方程的复数解，则其实部和虚部分别就是方程的两个实数解，即(17)。

4.3 相同的根

  此时只有一个线性独立的解，需要求另外一个。所用的方法是研究特征方程由复共轭根$r=\lambda \pm i\mu$的情形，并令$\mu$的极限为零。
此时通解为
$$x(t)=e^{\lambda t}(A\cos \mu t+B\sin \mu t)\text{\hspace{1em}(19)}$$

此时根据初始条件$x(0)=x_0$，$\dot{x}(0)=u_0$，A，B可写成初值$x_0$，$u_0$，$\lambda$，$\mu$的函数。$$x(t;\mu )=e^{\lambda t}\left(x_0\cos \mu t+\frac{u_0-\lambda x_0}{\mu }\sin \mu t\right)\text{\hspace{1em}(20)}$$

$x=x(t;\mu )$说明这里只考虑$\mu$的改变。
上式取极限$\mu \to 0$，并利用极限$$\underset{\mu \to 0}{\lim }{\mu }^{-1}\sin \mu t=t\text{\hspace{1em}(21)}$$式(21)中取极限过程中视$t$不变。则有：$$\underset{\mu \to 0}{\lim }x(t;\mu )=e^{\lambda t}\left(x_0+\left(u_0-\lambda x_0\right)t\right)\text{\hspace{1em}(22)}$$

  因此第二个线性独立的解是$t$乘以第一个解。
注：注意这里的逻辑关系，假定初值，$\lambda$均不变，只有$\mu$变。求$\mu$趋近于0时的解的极限。