傅里叶Fourier变换fft-python-scipy-幅值-辐角-相位

基础回顾

Fourier变换就是将周期信号沿正交基分解，而一组良好的正交基就是正弦/余弦函数，完备的正交基为 $e^{j\frac{2\pi nt}{T}}或e^{2\pi n{f}_{0}t}$ , 正交容易证明，完备性证明复杂。

基于此，连续域上的Fourier变换可以写为

$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t$$

其逆变换为

$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{-j\omega t}\mathrm{d}w$

在上述工作基础之上发展了离散Fourier变换(DFT)，将其变换对写为

$F(k)={\sum }_{n=0}^{N-1}f(n)e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$

$f(n)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}F(k)e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$

scipy-fft

假设 采样频率Fs，信号频率F，信号长度L，采样点数N。那么FFT之后结果就是N个点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。

采样频率Fs,被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。为了方便进行FFT运算，通常N取大于信号长度L的2的整数次方。用matlab 的 nextpower2 函数实现。
例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N。如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。 1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz。如果采样2秒时间的信号，则N为2048，并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。 如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。 引用自cnblogs
假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，该复数的模就是$ A_n=\sqrt{a^2+b2}$ ，相位就是$P_n=arctan\frac{b}{a}$ 。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：

$$\frac{A_n}{N/2}cos(2\pi F_{n}t+P_n)$$, 即$$\frac{2A_n}{N}cos(2\pi F_{n}t+P_n)$$

示例计算 频率、幅值、相位

原始波形

# 基频是 1/(2pi)Hz, 最大是 3/(2pi) Hz, ω分别是1,2,3
t = np.linspace(0,2*np.pi,240)
y = 1+ 1*np.sin(t ) + 2*np.sin(2*t)+3*np.sin(3*t)
plt.figure()
plt.plot(t,y)   
plt.title('原始波形')

输出为：

FFT处理

# 采样点数
N = len(t)
# 采样频率
fs = N/(2*np.pi)
N,fs
# FFT得到的复数的模（即绝对值）就是对应的“振幅谱”，复数所对应的角度，就是所对应的“相位谱”
fft_y=fft(y)                          #快速傅里叶变换
## 构造一个dataFrame
df_fft=pd.DataFrame(data=fft_y)
df_fft.columns=['变换值']
df_fft['幅值']=df_fft['变换值'].abs()
df_fft['幅值归一化']=df_fft['幅值']/N*2
df_fft.loc[0,'幅值归一化']=df_fft['幅值归一化'][0]/2
df_fft['辐角']=angle_y=np.angle(fft_y)
pd.options.display.float_format = '{:.2f}'.format
df_fft.head()

输出为

	变换值			幅值   幅值归一化 辐角	频率
0	240.00-0.00j	240.00	 1.00	-0.00	0.00
1	1.60-122.18j	122.19	 1.02	-1.56	0.16
2	6.34-242.28j	242.36	 2.02	-1.54	0.32
3	13.99-356.08j	356.35	 2.97	-1.53	0.48
4	-0.36+6.82j		6.83	 0.06	1.62	0.64

做幅值图、归一化幅值图与相位图

fig,axs = plt.subplots(1,3,figsize=(8,2),dpi=100)
x=np.arange(N)

axs[0].plot(x,df_fft['幅值'])
axs[0].set_title('幅值-双边')
axs[1].plot(x,df_fft['辐角'])   
axs[1].set_title('双边相位谱')
axs[2].plot(x,df_fft['幅值归一化'])
axs[2].set_title('双边幅值归一化')
plt.show()

归一化，取半处理，

# 取半处理
df_fft_harlf = df_fft.loc[np.arange(int(N/2)),:]

# half_x = x[range(int(N/2))]                                  #取一半区间
# normalization_half_y = df_fft['幅值归一化'][np.arange(int(N/2))]     #由于对称性，只取一半区间（单边频谱）
fig,axs = plt.subplots(1,2,figsize=(8,2),dpi=150)

axs[0].stem(df_fft_harlf.index,df_fft_harlf['幅值归一化'],'b')
axs[0].set_xlim(0,9)
axs[0].set_title('单边频谱(归一化)',fontsize=9,color='blue')
plt.gca().set_xlim(0,10)

axs[1].stem(df_fft_harlf.index,df_fft_harlf['辐角'],'b')
axs[1].set_xlim(0,10)
axs[1].set_title('相位',fontsize=9,color='blue')
plt.show()

查看较大的幅值

df_fft_harlf[df_fft_harlf['幅值归一化']>0.5]

输出为

	变换值			幅值	幅值归一化	辐角	频率
0	240.00-0.00j	240.00		1.00	-0.00	0.00
1	1.60-122.18j	122.19		1.02	-1.56	0.16
2	6.34-242.28j	242.36		2.02	-1.54	0.32
3	13.99-356.08j	356.35		2.97	-1.53	0.48

把辐角换算为角度看一看。

df_fft_harlf[df_fft_harlf['幅值归一化']>0.5]['辐角']/np.pi*180

0    -0.00
1   -89.25
2   -88.50
3   -87.75
Name: 辐角, dtype: float64

重新拟合

重新加和，看是否与原函数相符

yy =1+ 1.018237*np.cos(t-1.557706)+ 2.019664* np.cos(2*t-1.544616)+ 2.969593*np.cos(3*t-1.531526)
plt.plot(t,y,'r',t,yy,'b')

可见基本与原函数相同，同时scipy默认的fft是分解为余弦波。

ifft逆变换

可见逆变换需要用处理前变换的数据。

plt.plot(t,y,'r',label='原始')
plt.plot(t,np.real(ifft(fft_y)),'b',label='逆变换')
plt.legend();