频域与时域滤波 (三)

上回讲到物理空间下的滤波，作为示例，我们讨论了高通滤波与微商的关系。然而，微商并不是频域与时域滤波的唯一关系，在进一步讨论时域问题以前，先介绍线性平移时不变系统、 函数以及卷积这三个基本概念。

Ken:	Roy，上回讲到时域上的微商与频域上的高通滤波的等价关系，但我对时域滤波的概念还是很模糊。微商是时域和频域滤波的唯一关系吗？

Roy:	不是，但要掌握时域与频域滤波的关系，我们要详细介绍三个概念：线性时不变系统、Delta 函数以及卷积，它们构成了滤波的核心。

Ken:	Delta 函数的定义好像是:只有当 x=0 时函数不为零，是吗？

Roy:	是的，Delta 函数的定义正如你所说的，严格的数学表达式为 那你知道为什么 Delta 函数如此重要吗？

Ken:	Delta 函数有两大特征：首先，它在某一点处的函数值是无穷大，其它点的函数值为零；最奇怪的是它所包围的面积是“1”。一个无穷大的函数所围的面积居然是个有限值，太奇怪吧！把 Delta 函数“放大”，如图

Ken:	把这个函数“修整”为一个最大宽度为 ，高度为 的函数。严格而言，Delta 函数只有在 这一点有值，所以其宽度应该为零。根据 Delta 函数的面积特点，如果我们把它看成一个三角形，其面积可以估算为 因为 Delta 函数没有宽度，所以 应趋于零，此时，。可见，Delta 函数的中心值确实具有无穷大的特性。

Roy:	你只说出了 Delta 函数的特性，但没有提到它的应用。

Ken:	我想，独自出现的 Delta 函数本身是没有意义的，它一般出现在积分中，最常见的形式是 这个式子不难理解，因为只有当 时 才不为零，因此，当我们在积分中代入不同的 时，将得到函数 在 上的值。

Roy:	是的，这是一个常见的应用，但你还知道 Delta 函数在信号处理中的应用吗？

Ken:

这...

Roy:	你想想，如果我把 分别取为 1, 2, 3, 4, 5 ...，将得一系列的 f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), ...， 是连续函数，代入不同的 得到的是一些分散的值，这不就是...

Ken:

这是采样...对吧

Roy:	就是啰。但在数字信号处理上，我们一般使用 Delta 函数的另一个形式 这里， Delta 函数被称为 Kronecker Delta 函数。不知你是否注意到，这个函数是针对离散信号而提出的，它的中心函数值是有限值，因此只须将 Delta 函数与原函数相乘即可到到函数的样点值。

Ken:	难道 Delta 函数只用在抽样上？

Roy:	信号处理系统的任务是把输入信号转换为输出信号，但转换的方式或者说输入与输出的对应关系是不确定的。例如，有些系统把输入信号增大，有些系统减弱输入信号，有些系统甚至对输入信号进行更复杂的处理。假设当我们输入 信号时，系统输出 。虽然 和 的关系是确定了，但换一个输入信号 ，我们仍然无法估计系统的输出。

Ken:	和 不是告诉我们系统的信息吗？由和也不能得知当输入时的输出？

Roy:	这听起来也许不太合逻辑，但事实的确如此。举例说吧，假如有一块农田，采用雨水自然灌溉，农作物每天收成一次，而庄稼对水的依赖很大。假如连续三十天观察降水情况，发现一个月以来降水量一天比一天少，结果收成量也是逐日下降。你得到结论，这个农业系统的输出(收成)跟输入(降水量)成比例关系。很好，一段时间后，你再次观察三十天的降水量，你发现这个月降水量逐日上升，你猜这个月的总体收成会怎样？

Ken:	第一次观察的结果告诉我们，这个农业系统的输入和输出成正比，所以充足的降水量意味着丰收。

Roy:	也许吧。但有没有这种可能，降水多了，农作物生长得快，日收成量增加，但降水进一步增多时，农作物可能被淹死或者泥土中的养分被水带走，结果反而降低了收成？

Ken:	嗯...你的意思是说即使对同一个系统，只观察它的一次输入和输出关系无法预测系统的行为？

Roy:	是的。或者说，我们观察到的不过是系统的一次输入和输出状态，把这种特殊状态推广到一般的结论往往是错误的。如果我们把观察范围缩窄，研究系统对一个“迷你”的信号的反应，那么结果却是出人意料的！

Ken:	“迷你”的输入信号是什么意思？

Roy:	还是那片农田，我们把观察时间减为一天，实验以前先测量泥土的含水量，在收集到一整天的降水数据以后，结合泥土含水量的变化来判断作物的生长进度。这样，我们就可以得到一个比较准确的曲线，由此，将每天的降水量与曲线对比就可以大致预测是日作物的生长情况。这比以月为单位的预测更准确！对于这个农业系统，我们研究是一天降水量与收成量的关系，而作为输入信号，一天降水量显然比一月降水量小得多，因此我们称它为“迷你”输入信号。

Ken:	这样...为了得到更加精确的结果，为什么不选择一小时内的降水量甚至一秒内的降水量作为“迷你”信号？

Roy:	呵呵，理论上是这样。不过，对于信号处理系统，这种考虑是不必的，因为信号处理中的“迷你”就是 Delta 函数。注意，当我们把 Delta 函数作为信号输入到系统中，那么，输出量就是系统对 Delta 函数的响应了。我们把 Delta 函数称作脉冲，系统对它的响应称为脉冲响应。

Ken:	哈...Delta 函数的确是最迷你的了。这是不是说只要我们知道了系统的脉冲响应，不管输入信号为何，都可以轻易得到它的输出？

Roy:	问题可能比你想像的复杂一点，就像前面提到：如果我们知道一天降水量与当天收成的关系，则每一天的收成都可以通过种关系计算出来。如果某天降水量充足，那么当天的收成量就会增加，反之仍然。可是，如果降水量增加的同时伴有风灾或蝗祸，这种比例关系还成立吗？

Ken:	显然不会。但按你这样说，很多情况都会影响到这个比例关系，这一套东西岂不没用？

Roy:	那可不然。农耕的例子是实际上是把“一天的降水- 收成关系”成比例地应用到“一个月甚至更长时间的降水- 收成关系”中。虽然，某些特殊情况将破坏这种比例关系，值得庆幸的是，这种特殊情况相比正常情况出现的机会低得多，我们往往把它忽略，因此这种比例关系还是成立的。数学上，我们称这种比例关系为线性关系，满足这种比列关系的的系统就称为线性系统。

Ken:	这个我知道，通俗地讲就是“一分耕耘，一分收获”嘛。

Roy:	对。对于线性系统，还有一点要补充。我问你，如果张三有两块完全相同的田，他打算在七、八月份耕种(两月的降水量基本相同)。他想知，于七月份在A、B田上同时种植作物收成高，还是于七月在A田耕种，然后在八月在B田进行耕种所得的收成多？

Ken:	既然降水一样，也就是输入信号相同；田也一样就是系统相同，所以两种方法得到的收成量是一样的。

Roy:	没错，这就是线性系统的一个重要特征了，你可以把线性系统的两个特征写成数学表达式吗？

Ken:	这还不简单！ 也就是说，如果A田降水为 ，则收成为；B田降水为时收成为。那么，当A、B田的降水增加若干倍时，它们各自的收成也是增加同样的倍数。如果在A、B田上一起耕种，则两田的降水量之和决定了它们共同的收成量。

Roy:	是的。所以我们说“脉冲与脉冲响应的关系确定了信号处理系统的任意输入和输出关系”只有对线性系统才成立。

Roy:	对任意的连续信号进行采样，得到一系列缩放和平移的 Delta 函数(-n表示时间顺序上的第n个样点) 对于标准无平移的 Delta 函数 ，经过系统处理后得到脉冲响应 。那么，第一个样点 经过系统后的输出为何？

Ken:	由于系统是线性的，所以把 放大了 倍后，按理脉冲响也放大 倍，即

Roy:	不对。注意，如果向系统输入信号 并得到 。那么，对于同一个输入信号 增大或减小a倍，输出应该是的a倍。但是，这里 是由 经过系统产生的，虽然 也是 Delta 函数，但它毕境与 不相同，所以把它增大 b 倍作为输入，就不能保证输出为 的b倍？

Ken:	哦...平移好像不是线性系统成立的必要条件。我是这样想的，如果 当我们把 增大b倍时，即 ，由线性关系，输出必然是。现在把 移动一下，例如 ，如果输出也同样移动相同单位 ，那多方便呀！而这看起来也很合理呀！

Roy:	是的，我们希望系统有这种性质。之以说“希望”，是因为这种性质不是普遍存在的。我们说一个线性系统如果有这种特性，它就是一个线性平移时不变系统(LSI)。正如你所说的，对任意的输入信号，只要知道系统的脉冲响应，则可以很方便地得到系统的输出。

Ken:

能否举个例子？

Roy:	例如，在得到农耕系统的脉冲响应(即一天的降水- 收成比例关系)后，明天、后天、甚至下个月的收成量都可以用同样的比例关系求得(忽略所有破坏线性的因素)。

Ken:	OK。我还有一点不明白：给系统输入一个脉冲，它就输出一个脉冲响应，这样子 ... 这个脉冲响应...也是一个脉冲吗？我的意思是...脉冲响应是不是一个 Delta 函数？这好像不太合理 ... 因为 ... 对于一系列的信号样点(每个样点都是一个平移和缩放后的 Delta 函数)，如果输出还是 Delta 函数，那么，输出信号岂不是输入信号按比例的“复制”而矣，这样的系统有什么用？

Roy:	这个问题问得好！如果脉冲响应也是 Delta 函数，这样的系统的确干不了什么。我们暂时不讨论这种系统的存在性，下回介绍卷积时将回到这个问题上。目前，我只可以告诉你脉冲响应一般是一个过程，而非一个值，它告诉我们一个脉冲信号是如何被系统消化、吸收并转换成输出信号的，这个过程一般不是即时的。因此，脉冲响应往往是一系列的脉冲。

Ken:	哦？我输入一个脉冲，却得到一个序列？这...怎么回事？

Roy:

是这样的，当你得到了降水量与农作物收成的关系以后，你可能会说：“这个月中每一天的降水量与当天收成量都满足这个关系。”那很好，你找到你脉冲响应了。你输入一个平移和缩放后脉冲(每天的降水量，大小各异)，得到的是另一个平移和缩放后的脉冲(每天的收成量，大小与输入成比例)。某天，你发现当天降水量与收成量不满足这个关系，难道你不该怀疑脉冲响应出了问题吗？一位朋友告诉你，你建立的脉冲响应有问题，他认为当天收成不仅于当天降水量有关，而且与昨天甚至前天的降水量都有关系。他的理据是：假设昨天降水不足，即使今天下一整天雨，庄稼也无法在短期内吸收水份并发芽；相反，如果昨天降水量大，导致大量庄稼被淹死，那么，不管今天的降水量几何也无法增加今天的收成。也就是说，当天的收成应该与今天及昨天的降水量有关。当天的收成由当天及昨天降水决定，而昨天的收成又与昨天和前天的降水量有关。所以，脉冲响应实际上反映了接连两天的收成 -- 是一个过程而非一个值。

Ken:	嗯...这很好理解。但是...如果脉冲响应是一个序列或过程，问题不是变得更复杂吗？

Roy:	不用担心，接下来讨论的卷积将进一步涉及这方面的问题，界时你将看到脉冲响应和卷积的威力！