周期问题

1 什么是周期问题？

生活中，我们经常会遇到诸如每星期7天，每隔7天就要循环一次，一年12个月，每隔12个月就要循环一次，被3整除的自然数，每3个循环一次等，像这种有规律性的每隔固定期限就要周而复始循环出现的问题，统称周期问题。

2 例子

除了上面提到的星期，月份，倍数之外，还存在很多周期问题

• 月球绕地球运转昼夜，地球绕太阳运转产生的一年四季，中国农历年的24节气

• 十五的月亮圆又圆

• 循环小数中循环节数字的位数

• 塑料的降解周期

• 赌博中的点数

• 数学上的周期函数

2 周期问题有哪些特点？

2.1 最小正周期

周期问题的周期是一个正数，可以是正整数，也可以是其他正数，如果能够找到一个有限的正数使之循环，那么一定存在一个最小的数使之循环，我们把这个最小的数称为最小正周期。比如一年12个月，这个12就是其最小正周期，且最小正周期的倍数还是其周期，如24也是其周期。

2.2 带余除法解决周期问题

研究周期问题不仅要发现其周期性规律更需要找到其最小正周期。我们说周期并不是说从某一个固定的起点开始，而是随意选取起点往后推移，比如我们选择星期一作为起点，那么过7天后是星期一，过8天后就是星期二；如果我们选择星期五作为起点，那么过7天后就是星期五了，过8天后就是星期六了，像这样，选择不同起点，经过不同时期的问题，我们可以利用第一讲的带余除法来解决，现在有两组序列

(1) 

(2) 

其中 是序号 对应的性质，且性质经过 次第一次出现重复。自然有人会问，前面 个性质和序号对应的工工整整，那么怎么知道 以后的某个序号 （ ） 对应的性质呢？这时候，我们可以利用带余除法用 去除 ，计算出余数

其中 ， 便知道 对应的性质即为 对应的性质， 有时也叫步长， 叫步数。例如让 分别表示星期一，星期二，...，星期日，那么第108天是星期几呢？此时只需要计算

那么第108天对应的性质应该与3对应的性质 一致，即第108天是星期三。

3 经典习题

例1 今天是星期一，再过100天是星期几？

分析与解答 我们知道星期是7天一循环，今天是星期一，那么过7天又是星期一，再过7天又是星期一，这样每过7天就是星期一，说明7是其最小正周期，我们可以利用带余除法来计算

也就是经过14次循环，又回来星期一，这时候是过了 天，但是离100天还差2天，于是又过了两天就到了星期三，故再过100天是星期三。

例2 某小学为迎接六一儿童节，在学校操场边摆上鲜花，鲜花的摆放是按照2盆红色，3盆黄色，2盆粉色，1盆白色的顺序摆放，如此循环，请问

(1)第51盆鲜花是什么颜色？

(2)前51盆鲜花中，各种颜色的花分别有多少盆？

分析与解答 根据鲜花的摆放顺序，容易知道其最小正周期为 ，其中第一个2表示2盆红花，3表示3盆黄花，第二个2表示2盆粉花，1表示1盆白花，这样每8盆一循环，那么第51盆是什么颜色的花呢？我们只要利用带余除法进行计算出余数

余数为3，那么第51盆的花的颜色应该和这个最小正周期里面第3盆的颜色一样，即是黄色。

现在来看第二个问题，因为一个最小正周期里面的花的颜色和盆数是确定的，分别是2盆红色，3盆黄色，2盆粉色，1盆白色，前51盆鲜花中，有6个这样的周期，那么可以确定的是在这6个周期里面恰好有 盆红色， 盆黄色， 盆粉色， 盆白色，但是海有3盆是这6个周期之外的，故需要单独考虑，非常容易知道这3盆分别是2盆红花，1盆黄花，故红花要加2，黄花要加1，所以前51盆鲜花中有红花14盆，黄花19盆，粉花12盆，白花6盆。

例3 28个3相乘，积的个位数是多少？

分析与解答  通过找规律来确定若干个3相乘所得的积的个位数

乘积的个位数似乎第一次出现重复，故可以猜测数字3的若干个乘积的个位数字按3，9，7，1这样循环出现，可以往下算一个验证最小正周期是4，利用带余除法

余数为0说明恰好整除，即完全可以按照最小正周期划分，故28个3相乘的积的个位数恰好为最小正周期的最后一个，即个位数为1。

例3不是个例，正整数乘方的个位数的确呈现周期现象，如果 是一个正整数， 个 相乘记为 ，即

个