2020中考压轴冲刺之三角形相似和全等

相似和全等是几何学的两个重要概念，而三角形又是最简单的多边形，通过三角形这一简单图形来考察相似和全等就变得合乎常理，因此三角形相似和全等就格外重要，是中考数学卷的常客。我们三行数学教研组研究历年真题发现三角形相似和全等的考点主要集中在以下几个方面（按难易程度排）

以史为鉴，方知兴替，研究往年真题把握命题规律，往往能够准确预测新一年的考察，下面让我们来一起细细品味上海市往年优秀真题

真题赏析

例1 （2019上海卷） 左图中AD，BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E。

（1）求证： ；

（2）如右图，如果AE=AB，且BD:DE=2:3，求cos∠ABC的值；

（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出 的值。

考点剖析  第一小问是个小证明题，如果能够把等式两边的∠E和 通过中间件表示出来，问题或许会变得简单很多，一般第一小问只是一个开胃菜，第二小问才是重头戏，果不其然，第二小问在初中阶段需要放到直角三角形中，所以找出直角三角形变成了关键，第三小问属于三角形相似的应用问题，难度提升了不少。

分析与解答   （1）在Rt△ADE中

而∠ADE是△ADB的外角，故

将（2）代入（1）得

（ ）

在△ABC中

又因为AD，BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，所以

（ ）

将（5）代入（4）得

（ ）

比较（3）与（6）等式右边即得 。

（2）∵   AE=AB， ∴  ∠ABE=∠AEB

∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABE=∠FBD，∴∠AEB=∠FBD ，

因此，AE∥BC，∠BFA=∠EAD=90°，

在Rt△ABF中

（3）△ABC与△ADE相似，且在△ADE中，∠DAE=90°，所以△ABC必有一个90°的内角，且∠ABC是锐角，那么这个直角可能是∠BAC，也可能是∠ACB，下面分两种情况来讨论

（i）∠BAC=∠EAD=90°

△ABC与△ADE相似，∠ABC=∠E，由（1）知道∠C=2∠E，且∠ABC+∠C=3∠E=90°，所以∠E=30°，即∠ABC=30°， 的比值恐怕没那么容易直接写出来，从A点作垂线叫BE与G点，作AH=AE，且设AG=1，那么

在Rt△AGE中，AE=2AG=2，Rt△AGH中， ，AH=2，易知∠ABH=∠BAH=15°，所以BH=AH=2，所以 ，由勾股定理可以算出 ，然后根据相似面积比等于对应边之比的平方，

（ii）∠ACB=∠EAD=90°

△ABC与△ADE相似，∠ABC=∠E，由（1）知道∠ACB=2∠E，所以∠ABC=45°。

过A作BE的垂线AF，设AF=1，那么 ， ， ，由角平分线知 ， ，

Rt△ABF中

Rt△ADE中，DE=2，那么

2020年三角形相似和全等大预测

不出意外的话，2020年三角形相似和全等的第一小问也会是一个小证明，然后第二小问很可能考察三角形相似的判定和及其性质，希望同学们认真都准备起来。

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最后把我们三行科创交流群安利给同学们，如果你们在备考过程中遇到任何不懂的都可以在我们交流群提问，我们有专业的老师进行解答，交流群是限时开放的，平时进群要499元，现在免费给大家开放。

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