第一章 热传导方程

第一章 热传导方程

目录如下：

1. 推导一维杆的热传导方程：从微分及积分角度分别进行了推导

2. 初值和边界条件：初值是与时间相关、边值与空间相关

3. 二维及三维热传导方程推导：从积分角度推导，得到泊松方程和拉普拉斯方程

4. 拉普拉斯算子的各种形式：在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下推导拉普拉斯算子形式

 

偏微分方程（PDE）就是指含有偏导数的数学方程。

本书从物理问题开始研究偏微分方程，便于读者与实际结合。首先讲解的是热传导方程：

1. 推导一维杆的热传导方程

讲解了两种方式：微分的观念，从一个小的薄片的能量守恒推导，通过取极限的方式得到热传导方程

 

另外一种，从积分角度考虑，利用积分基本定理，这种方式更加精确，避免了极限过程的近似计算。

 

2. 初值和边界条件：

关于时间变量的称为初值条件，是时间变量的几阶导数就要几个初值条件。

关于空间变量的称为边界条件。

边界条件有三类：

    给定温度

        给定温度变化率 

    给定温度温度变化率与分布的函数关系

 3. 二维及三维热传导方程推导

从积分角度进行推导，根据能量守恒

根据高斯定理，把曲面积分转换为三重积分，整理上式得到：（注意把时间作为偏导数放入积分中）

 

因此：

 又根据傅里叶导热定律：

 

 

 

稳态：如果边界条件和热源都与时间无关，在恒定热性质的情形，平衡温度分布将满足：

 该方程称为 泊松方程。

如果热源不存在，泊松方程变为：

 即温度分布的拉普拉斯算子是零，因此称为 拉普拉斯方程。

二维方程的推导与三维一致，只是使用面积分代替体积分，使用格林公式代替高斯公式。

 4. 拉普拉斯算子的各种形式

在直角坐标系下：

 在柱面坐标系下有：

 下面证明在柱面坐标系下的拉普拉斯公式：

考虑二维下的柱面坐标，即极坐标：

可以证明：

 

 

 利用链式法则：

 

 

 

 

 

 以上可以得到 柱坐标下的拉普拉斯算子公式：

 在这个公式中，需要注意的是：在拉普拉斯算子中的每一项都有u的量纲被两个空间量纲除。因为角度是用弧度测量的，没有

量纲，因此，对角度的微分需要除以半径的平方。

通过以上思路可以证明 球坐标的公式：

 

 

 

 

 

 

 

 

posted on 2017-09-01 15:32 simppy 阅读( ...) 评论( ...) 编辑 收藏