求素数的几种方法（暴搜法和筛选素数法）

参考自该篇博客https://www.cnblogs.com/grubbyskyer/p/3852421.html；

参考自该篇博客https://blog.csdn.net/liamleec/article/details/78524039

个人理解：

暴搜法：

其分为两种，一种是直接for循环，另一种是建立在数学思想上的平方根循环。第二种算法时间复杂度明显优于第一种。

1、暴力法：O(n*n)

也就是最简单直接的for循环，判定这个数是否能被除1 和其本身以外的整数整除。

2、sqrt（n）暴搜: O(n*sqrt(n))

这个也是基于for循环的一种方式，比上面那种方法稍微快了一点。当n的数值较大时，程序运行时间也比较长。原理：一个数只能被1和其本身整除，这样的数称为素数反之，不满足这个条件的即为非素数。

假定非素数num，一定能分解为两个整数的乘积，n和m，num = n * m；若n，m都大于sqrt（num），则不成立；所以，n和m中一定有一个小于等于sqrt（num）。换句话说，如果不存在这样的一个小于sqrt(num)的整数，则num就为素数。

代码：

#include
#include
using namespace std;
int main()
{
	int i,n, x;
	cin >> n;
	x = sqrt(n);
	for (i = 2; i <= x; i++)
		if (n % i == 0)
			break;               //跳出本层循环
	if (i > x)                   //找出小于sqrt（n）的整数
		cout << "Yes!";          //若无，则为素数，
	else
		cout << "No!";           //若存在，为非素数

	return 0;
}

筛选素数法：

1， 普通筛选法——埃拉托斯特尼(Eratosthenes)筛选法：O(n*loglogn)

要求n以内的素数，我们可以先构建一个大小为n+1的bool类型数组，并将各元素初始化为true（true表示为素数，false表示非素数），再通过算法将素数的下标所对应元素值赋为true，最后输出所有为true元素的下标即可。

用一个长度为n+1的数组保存信息（true表示素数，false表示非素数），先假设所有的数都是素数（初始化为true），从第一个素数2开始，把2的倍数都标记为非素数（置为false），一直到大于n；然后进行下一趟，找到2后面的下一个素数3，进行同样的处理，直到最后，数组中依然为true的数即为素数，遍历输出即可。

代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
# define N 1024
int main()
{
	int tot = 0;
	bool num[N];
	memset(num, true, sizeof(num));       //初始化
	for (int i = 2; i < sqrt(N); i++)
	{
		if (num[i])
		{
			for (int j = 2; j * i < N; j ++)
			{
				num[j * i] = false;
			}
		}
	}

	for (int i = 2; i < N; i++)
	{
		if (num[i])
			cout << i << " ";
	}
	return 0;
}

2，二次筛选法：O(n*loglogn)

是普通筛选法算法的改进。

代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
# define N 1024
int main()
{
	int tot = 0;
	bool num[N];
	memset(num, true, sizeof(num));       //初始化
	for (int i = 2; i < sqrt(N); i++)
	{
		if (num[i])
		{
			for (int j = i * i; j < N; j += i)
			{
				num[j] = false;      //二次筛选法:i是素数，则下一个起点是i*i,把后面的所有的i*i+2*n*i筛掉

			}
		}
	}

	for (int i = 2; i < N; i++)
	{
		if (num[i])
			cout << i << " ";
	}
	return 0;
}

3，线性筛选法：O(n)

在普通筛选法的基础之上进行最大程度的优化。普通筛选法在提高运行效率的同时也有缺点，就是很多数被处理了不止1遍，因此又造成了比较大的不必要处理。比如说非素数6，以2进行筛选时筛选了一次，以3进行筛选，又筛选了一次，线性筛选素数就是一个非素数以最小质因数筛选一次即可。

代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
# define N 1024
int main()
{
	int tot = 0;
	bool num[N];                           //判定是否为素数
	int prime[N];                          //素数集合
	memset(num, true, sizeof(num));        //初始化
	for (int i = 2; i < N; i++)
	{
		if (num[i])
			prime[tot++] = i;
		for (int j = 0; j < tot && prime[j] * i < N; j++)
		{
			num[prime[j] * i] = false;
			if (i % prime[j] == 0)         
				break;
		}
	}

	for (int i = 2; i < N; i++)
	{
		if (num[i])
			cout << i << " ";
	}
	return 0;
}