搞懂矩阵的转置,矩阵的逆和伴随矩阵(一)

矩阵和行列式的区别:

• 即使内部元素相同,但是行列式$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|$和矩阵$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$所传达的信息是不一样的,具有不同的性质.
  矩阵是表达系统信息(systematical information),而行列式则是一种测度,例如同样是数乘运算,矩阵的数乘要把数k乘以矩阵中的每一个元素,而行列式只需要乘某一行或者某一列即可.
• 矩阵可以看成由若干行(列)向量拼成的,矩阵和行列式不同,矩阵不能运算,但是其若干行(列)之间存在某种联系,这种联系反应了矩阵的本质——矩阵的秩.

三种常见的矩阵计算

矩阵的转置

1. 定义:将一个m*n矩阵的行列互换即可得到矩阵的转置.
2. 性质:
   • $(A^T{)}^T=A$
   • $(kA{)}^T=k{A}^T$
   • $|kA|=k^2|A|$
   • $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
   • $(AB{)}^T=B^T{A}^T$
   • $当m=n时,|A^T|=|A|$

矩阵的逆

1. 如果一个矩阵有逆,则矩阵和矩阵的逆都要是方阵
2. $AB=BA=E$,则称A是可逆矩阵,并且B是A的逆矩阵,而且逆矩阵是唯一的
3. 判别方法:
   • 行列式$\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|\ne 0$
   • A满秩
   • 组成A的n个向量线性无关

伴随矩阵

1. 定义:将行列式|A|的代数余子式按照如下形式排列形成的矩阵叫做A的伴随矩阵,记作$A^{\ast }$:
   $$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& ....& A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& ....& A_{n2}\\ A_{13}& A_{23}& ...& A_{n3}\\ ....& .....& ....& .....\\ A_{1n}& A_{2n}& ....& A_{nn}\end{array}\right)$$

伴随是按照矩阵的列排列代数余子式

正交矩阵

A是正交矩阵<=>$A^{T}A=E$<=>$A^{-1}=A^T$

矩阵的计算

大概了解了矩阵的常用三种计算的概念,接下来就要进行到计算环节了,我们先从具体矩阵入手.
矩阵的转置和伴随基本都是考计算量的,我们主要来看矩阵的逆如何来求:

1. 用伴随矩阵求矩阵的逆

1. 如果|A|可逆,即$\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|\ne 0$,并且此时$A^{-1}=\frac{1}{|\begin{array}{c}A\end{array}|}{A}^{\ast }$
2. 此种方法只要注意好$A_{ij}$的位置和正负号即可

求矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$的逆矩阵:
$$\begin{gathered} 解:|A|=3+2+0-1-2=2\ne 0,即A可逆 \\ {A}_{11}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=1,A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=0,A_{13}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1 \\ {A}_{21}=-\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=-2,A_{22}=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=2,A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 0\end{array}\right|=-2 \\ {A}_{31}=-\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=1,A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=-2,A_{33}=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=1 \\ 故A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 0& 2& -2\\ -1& 2& 1\end{array}\right) \end{gathered}$$

2. 用初等变换来求矩阵的逆

• 我们常用矩阵的初等行变换来求逆:$\left(\begin{array}{cc}A& E\end{array}\right){⟶}_{矩阵的初等行变换}\left(\begin{array}{cc}E& A^{-1}\end{array}\right)$
  求矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ 1& 1& 2\\ -1& -1& -1\end{array}\right)$的逆矩阵:
  $$\begin{gathered} \left(\begin{array}{cccccc}0& 2& -1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 2& 0& 1& 0\\ -1& -1& -1& 0& 0& 1\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 2& 0& 1& 0\\ 0& 2& -1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1& 1\end{array}\right)⟶ \\ \left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 0& -1& -2\\ 0& 2& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0& 1& 1\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 0& -1& -2\\ 0& 1& 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& 0& 1& 1\end{array}\right) \\ ⟶\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& -\frac{1}{2}& -\frac{3}{2}& -\frac{5}{2}\\ 0& 1& 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& 0& 1& 1\end{array}\right) \end{gathered}$$所以最后求得$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{3}{2}& -\frac{5}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$