蓝桥杯真题 一步之遥 题解

题目：
一步之遥
从昏迷中醒来，小明发现自己被关在X星球的废矿车里。
矿车停在平直的废弃的轨道上。
他的面前是两个按钮，分别写着“F”和“B”。
小明突然记起来，这两个按钮可以控制矿车在轨道上前进和后退。
按F，会前进97米。按B会后退127米。
透过昏暗的灯光，小明看到自己前方1米远正好有个监控探头。
他必须设法使得矿车正好停在摄像头的下方，才有机会争取同伴的援助。
或许，通过多次操作F和B可以办到。
矿车上的动力已经不太足，黄色的警示灯在默默闪烁…
每次进行 F 或 B 操作都会消耗一定的能量。
小明飞快地计算，至少要多少次操作，才能把矿车准确地停在前方1米远的地方。
请填写为了达成目标，最少需要操作的次数。

思路1：暴力，非常简单

思路2：扩展欧几里得算法
根据题目列出方程：97 * x - 127 * y = 1，这是一个不定方程，要求不定方程的整数解，用扩展欧几里得算法。
【扩展欧几里得算法是用来在已知a,b求解一组x,y,使它们满足贝祖等式：ax + by = gcd(a,b) = d(解一定存在，根据数论中的相关定理)】
【扩展欧几里得算法推导：
Ax + By = gcd(A,B) （1）
->Ax + By = gcd(B,A%B)
(A = B * (A / B) + A % B （用B来表示A）)
->(B * (A / B) + A % B) x + By = gcd(B,A%B)
-> B * (A / B * x + y) + (A % B) * x = gcd(B, A %B) （2）
解出方程（2）的解为x1,y1,（1）与（2）形式对应，所以
x1 = (A / B * x + y), y1 = x
所以 x = y1, y = x1 - A / B * y1; 】

Code1：（方法1：暴力）

//暴力解法
#include 

using namespace std;
const int maxn = 1000;
int main(){
    for(int i = 0; i < maxn; ++i){
        for(int j = 0; j < maxn; ++j){
            if(97 * i - 127 * j == 1){
                cout << i <<" "<< j <return 0;
}

Code2：（方法2：扩展欧几里得解法）

//不定方程 不定方程的整数解 
//扩展欧几里得定理 Ax + By = gcd(A,B)有解 
#include 
#include 

using namespace std;

int ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y){
    //该函数求不定方程 a * x + b * y = gcd(a,b) 的整数解x,y 
    //返回最大公约数 
    if(b == 0){
        x = 1;//b == 0时, x * a = gcd(a,0) = a 
        y = 0;
        return a;
    }
    int ans = ex_gcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * x;
    return ans;
}

int main(){
//  97 * x + 127 * y = 1;
    int x,y;
    int a = ex_gcd(127,97,x,y);
    cout<//a:最大公约数
    cout<//方程的解x
    cout<//方程的解y
    return 0;
}