Princeton-Algorithm-Sort经典

该文章为Princeton-Algorithms Part I读书笔记，相关视频在此。

1. 归并排序Merge Sort(递归版本：top-down)

基本思想：

1. 递归式的将数据分两半，各自排序
2. 合并结果。

关键：

given 2 sorted array，do in-place merge

merge实现

实现：

归并排序实现

效率：时间O(nlgn)，空间O(n)

归并排序效率分析

2. 归并排序Merge Sort（非递归版本：bottom-up）

基本思想:

从两个数据开始，一步步往上merge

归并排序实现（自底向上）

3. 对最优排序算法效率的探究

最优排序算法的效率

• 任何排序算法在最差情况下至少要比较nlgn次
• 包含大小为n的，各自不同的元素的序列，可能的ordering排列为N！，即决策树的叶子数目为N！，因此高度为lg(N!) ~ NlgN。决策树的高度也是算法的worst case。

4. 排序算法的引出的概念：稳定性Stability

定义

稳定的排序会保持相同key的数据的相对顺序。

排序算法的稳定性

• Insertion sort是稳定的：数据交换的步长为1，相同的数据彼此不会交换
• selection sort是不稳定的：当距离较远数据进行交换时，有可能越过key相同的数据。
• shell sort是不稳定的：同理上。
• merge sort是稳定的：merge的过程如果key相同，取左边的数。

分析的关键在于相同的key的元素是否会发生交换

5. 快速排序Quick sort(基于递归)

基本思想：

1. shuffle 数据
2. partition数据使得某个a[j]处于正确的位置，即左边数据都小，右边数据都大
3. 递归左右

关键：Partition

In-place，不需要额外空间

思路：

1. 随机洗牌之后定出一个pivot
2. 两个指针，前后向中间逼近，直到各自找到该交换的元素（即左边的比pivot大，右边的比pivot小）
3. 交换两个数据，继续，重复知道两个指针交叉。

快排partition

实现

快排实现

性质

• 效率：worst case可以达到O(n^2)，平均时间O(lgn)，空间O(1),因此快排是一种in-place sorting algorithm。
• random shuffle对pivot的选取可以提升算法效率，避免worst case。因为能让pivot值恰好在中间的概率更大，等分数据的概率更大。
• 不稳定，因为在partition中依然存在long-range exchange

6. Partition引出的相关问题：quick selection问题

例子：

求第k大的元素，求top k元素，。。。

基本思想：

1. 利用partition的思想对数据进行划分
2. 判断要找的元素是否为指针j，如果是，j则为结果
3. 如果目标k小于j，在j的左半部分递归继续找；如果大于，找右边

实现

quick selection实现

效率

• In average，可以达到线性！
• Worst case，O(N^2)

7. quick sort算法的引出的概念：对Duplicate Key的处理

目的

在quick sort算法partition中，将key相同的数据排在一起，可以提升算法的效率

算法：Dijkstra 3-way partitioning

使得partition之后，与pivot相同key的数据可以连在一起

基本思想

Dijkstra 3-way partitioning

实现

Dijkstra 3-way partitioning实现

效率

可以提高常规quick sort算法的效率，许多应用中可以达到线性效率。

8. 关于算法的选择

算法的选择

常常需要考虑一下一些问题：

是否需要stable？是否有duplicate key？输入是否已经partially sorted，还算是randomly ordered？等等。。

总结

排序算法总结

一般排序算法在worst case都会达到O(N^2)。在worst case还能NlgN的算法简直是最理想的圣杯(holy grail)。