八皇后问题详解

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问题描述：

要在8*8的国际象棋棋盘中放8个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃掉。规则是皇后能吃掉同一行、同一列、同一对角线的棋子。如下图即是两种方案：

问有多少种摆法。高斯认为有76种方案。

1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。

计算机发明后，有多种方法可以解决此问题。

问题分析：

算法思路：
首先我们分析一下问题的解，我们每取出一个皇后，放入一行，共有八种不同的放法，然后再放第二个皇后，同样如果不考虑规则，还是有八种放法。于是我们可以用一个八叉树来描述这个过程。从根节点开始，树每增加一层，便是多放一个皇后，直到第8层（根节点为0层），最后得到一个完全八叉树。紧接着我们开始用深度优先遍历这个八叉树，在遍历的过程中，进行相应的条件的判断。以便去掉不合规则的子树。
根据上述描述，我们可以得到如果两个皇后Q1(x1, y1)和Q2(x2, y2)不符合要求，则以下四个条件之一必符合。
1 ) x1== x2(表示两个皇后刚好在同一行)

2 ) y1=y2(表示两个皇后不能再同一列)

3 ) x1+ y1 == x2 +y2 （斜向正方向）

4 ) x1 - y1 == x2 - y2（斜向反方向）

我们将这种思想转换为程序思想来进行实现的话，可以使用一个数组a来记录每个皇后的位置，比如a[2]=4,就意味着该皇后的位置是在(2,4)上。
某一行的皇后a[n]不能和之前的皇后a[i]位置有冲突，约束条件为：

a、不在同一列：a[n] != a[i]

b、不在同一行：因为现在是每一行求一个皇后的位置，所以同一行不会有冲突，不需要考虑。

c、不在同一对左角线：a[n]-a[i] != n-i。 结合数学知识来看待当前这个问题，可以把它理解为斜率
举例，a[1]=2（1,2）和a[2]=3（2,3）是在同一左对角线上的，不满足题意。
d、不在同一右对角线：a[n]-a[i] != -(n-i)
举例，a[1]=8和a[2]=7这两个点在同一条直线上。
条件c和d可以合成：abs(a[n]-a[i]) != abs(n-i)
然后我们就得到了判断位置合法性的函数

bool judge(int a[],int n){//判断函数，检测皇后位置是否合法 
    for(int i=1;i//将第n个皇后的位置，依次与之前的皇后进行合法性检查 
        if(a[i]==a[n]||abs(n-i)==abs[a[n]-a[i]])//如果在同一行，同一列，或者是正斜线，反斜线，为假 
            return false;
    }
    return true;
} 

代码思路：

现在进行模块化的程序设计思想，我们把这道题的代码分为以下几个模块儿

• 判断模块，用来对每一行的皇后的位置加以判断，判定其是否合法
• 输出模块，对于每一种解法，我们要将这种解法输出。
• 深度搜索模块儿，通过这一模块儿，我们深入进行搜索每一行的皇后的位置的具体情况，并且对于这种情况，进行分析。

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,i;//n记录是多少个皇后的问题，i记录的是第几个皇后 
int a[101];//数组下标表示行号，数组值表示列号 
int sum;//记录有多少种解法 
bool judge(int a[],int N) //检测当前位置的皇后是否是合法的 
{  
    for(int j=1;jif(abs(a[j]-a[N])==abs(j-N) || a[j]==a[N])//////////////见下面注释  
            return false;  
    }  
    return true;  
}  
void print_ans(){//打印输出每一种解的方案。 
    for(int j=1;j<=n;j++)
        cout<<"<"<","<">"<<"   ";
    cout<void solve(int i){//使用该函数来实现递归检测八皇后合法性
    if(i>n){//递归出口，每出现一次，意味着得到了一种解 
        sum++; 
        print_ans();//输出答案； 
        return ;
    } 
    for(int j=1;j<=n;j++){//每一行8列都尝试走一遍 
        a[i]=j;
        if(judge(a,i)){//判断当前皇后是否满足要求，满足则递归至下一层 
            solve(i+1);
        }            
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    sum=0; 
    solve(1);//
    cout<<"一共有多少组解："<

代码中还是有很多不是很完善的地方，如何进行优雅的剪纸操作是一个较大的难题。