弗洛伊德算法解析

弗洛伊德算法是求解图的多源最短路径的。具有重叠子问题结构为：

 

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

原理： 

Floyd-Warshall算法的原理是动态规划。

设D_i,j,k为从i到j的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。

1. 若最短路径经过点k，则D_i,j,k = D_{i,k,k − 1} + D_{k,j,k − 1}；
2. 若最短路径不经过点k，则D_i,j,k = D_{i,j,k − 1}。

因此，D_i,j,k = min(D_{i,k,k − 1} + D_{k,j,k − 1},D_{i,j,k − 1})。

算法描述：

for k ← 1 to n do
  for i ← 1 to n do
    for j ← 1 to n do
      if (Di,k + Dk,j < Di,j) then
        Di,j ← Di,k + Dk,j; 

案例：

亲测代码：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define maxSize 10
#define INF 1000000
typedef struct 
{
	int edges[maxSize][maxSize];
	int n;//顶点数 
	int e;//边数 
}MGraph;
void fylod(MGraph g , int A[][maxSize], int path[][maxSize])
{
	int i,j,k;
	for(i=0;iA[i][k]+A[k][i])
				{
					A[i][j] = A[i][k]+A[k][j];
					path[i][j]=k;
				}
			}
		}
	}	
}
void printPath(int u,int v ,int path[][maxSize])
{
	if(path[u][v]==-1)
	{
		printf("-->%d",v);
	} 
	else
	{
		int mid = path[u][v];
		printPath(u,mid,path);//处理他们之间的中间节点 
		printPath(mid,v,path);//处理他们之间的中间节点 
	}
}
int main()
{
	MGraph G;
	int A[maxSize][maxSize];
	int path[maxSize][maxSize];
	int a,b,s;
	G.n = 4;
	G.e = 8; 
	for(int j=0;j

结果：

时间复杂度：

有算法代码可知，本算法的主要部分是一个三重循环，去内层循环的操作为基操作，则基操作执行的次数为n*n*n,因此时间复杂度为O(n3);