(File IO): input:triangles.in output:triangles.out
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题目描述
F a r m e r J o h n Farmer John FarmerJohn 想要给他的奶牛们建造一个三角形牧场。有 N ( 3 ≤ N ≤ 1 0 5 ) N(3≤N≤10^5) N(3≤N≤105)个栅栏柱子分别位于农场的二维平面上不同的点 ( X 1 , Y 1 ) … ( X N , Y N ) (X1,Y1)…(XN,YN) (X1,Y1)…(XN,YN)。他可以选择其中三个点组成三角形牧场,只要三角形有一条边与 x x x 轴平行,且有另一条边与 y y y 轴平行。
F J FJ FJ 可以组成的所有可能的牧场的面积之和等于多少?
输入
第一行包含 N N N。
以下 N N N 行每行包含两个整数 X i Xi Xi 和 Y i Yi Yi,均在范围 − 1 0 4 … 1 0 4 −10^4…10^4 −104…104 之内,描述一个栅栏柱子的位置。
输出
由于面积之和不一定为整数且可能非常大,输出面积之和的两倍模 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7 的余数。
样例输入
4
0 0
0 1
1 0
1 2
样例输出
3
数据范围限制
测试点 1 − 2 1-2 1−2 满足 N = 200 N=200 N=200。
测试点 3 − 4 3-4 3−4 满足 N ≤ 5000 N≤5000 N≤5000。
测试点 5 − 10 5-10 5−10 没有额外限制。
提示
栅栏木桩 ( 0 , 0 ) 、 ( 1 , 0 ) (0,0)、(1,0) (0,0)、(1,0) 和 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) 组成了一个面积为 1 的三角形, ( 0 , 0 ) 、 ( 1 , 0 ) (0,0)、(1,0) (0,0)、(1,0) 和 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 组成了一个面积为 0.5 0.5 0.5 的三角形。所以答案为 2 ∗ ( 1 + 0.5 ) = 3 2*(1+0.5)=3 2∗(1+0.5)=3。
解题思路
(此部分转载于洛古题解)QWQ
我们可以先尝试枚举这个直角,看看以一个点作为直角顶点,能组成的所有三角形面积能否快速求出。
考虑如下图的样子:
X X X点是我们所枚举的点,在 X X X的左边还有 A , B , C A,B,C A,B,C三个点,他们纵坐标相等。在 X X X的下方还有 F , E , D F,E,D F,E,D三个点,他们横坐标相等。那么此时以 X X X为直角顶点,能组成多少个三角形,他们的面积的二倍的和是多少呢。我们设两点之间的线段长度已经用小写字符标在图上,
可以算出,现在的总面积是:
( a + b + c ) ∗ d + ( b + c ) ∗ d + c ∗ d + ( a + b + c ) ∗ ( d + e ) + ( b + c ) ∗ ( d + e ) + c ∗ ( d + e ) + ( a + b + c ) ∗ ( d + e + f ) + ( b + c ) ∗ ( d + e + f ) + c ∗ ( d + e + f ) = ( a + 2 ∗ b + 3 ∗ c ) ∗ ( f + 2 ∗ e + 3 ∗ d ) (a+b+c)*d+(b+c)*d+c*d+(a+b+c)*(d+e)+(b+c)*(d+e)+c*(d+e)+(a+b+c)*(d+e+f)+(b+c)*(d+e+f)+c*(d+e+f)=(a+2∗b+3∗c)∗(f+2∗e+3∗d) (a+b+c)∗d+(b+c)∗d+c∗d+(a+b+c)∗(d+e)+(b+c)∗(d+e)+c∗(d+e)+(a+b+c)∗(d+e+f)+(b+c)∗(d+e+f)+c∗(d+e+f)=(a+2∗b+3∗c)∗(f+2∗e+3∗d)
那么,我们按照 x x x坐标从小到大, y y y坐标从小到大的顺序,依次去枚举每个点 i i i,去做一下上述处理,然后计算结果出来。但是这个计算方式只对目前我们这种方向的三角形有效,事实上三角形的直角有四个方向,分别是冲着一二三四四个象限的方向。现在我们处理的,是直角在第三象限的情况。但我只要改一下点的排序方式,把同样的事情做 4 4 4遍就行了。
代码
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cmath>
using namespace std;
const long long INF=1000000007;
long long l[20852],o[20852],v[20852],e[20852],y[20852],u[20852];
long long ans,n;
struct c{
long long x,y;
}a[100010];
bool cmp1(const c&l,const c&r)
{
if(l.x!=r.x)
return l.x<r.x;
else return l.y<r.y;
}
bool cmp2(const c&l,const c&r)
{
if(l.x!=r.x)
return l.x>r.x;
else return l.y>r.y;
}
bool cmp3(const c&l,const c&r)
{
if(l.x!=r.x)
return l.x<r.x;
else return l.y>r.y;
}
bool cmp4(const c&l,const c&r)
{
if(l.x!=r.x)
return l.x>r.x;
else return l.y<r.y;
}
void hh()
{
memset(l, 0, sizeof(l));
memset(o, 0, sizeof(o));
memset(v, 0, sizeof(v));
memset(e, 0, sizeof(e));
for(long long i=1;i<=n;i++)
{
long long xx=a[i].x,yy=a[i].y;
l[xx]=(l[xx]+abs(yy-y[xx])*v[xx])%INF;
y[xx]=yy;
v[xx]++;
o[yy]=(o[yy]+abs(xx-u[yy])*e[yy])%INF;
u[yy]=xx;
e[yy]++;
ans=(ans+l[xx]*o[yy])%INF;
}
}
int main()
{
freopen("triangles.in","r",stdin);
freopen("triangles.out","w",stdout);
scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld%lld",&a[i].x,&a[i].y);
a[i].x+=10005;
a[i].y+=10005;
}
sort(a+1,a+n+1,cmp1);
hh();
sort(a+1,a+n+1,cmp2);
hh();
sort(a+1,a+n+1,cmp3);
hh();
sort(a+1,a+n+1,cmp4);
hh();
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}