中心极限定理

中心极限定理

1 理解

Theorem: The mean of sample mean($\overline{x}$) is equal to the mean of population $\mu$. (Independent of the distribution of population and sample size n)

$$\mu \overline{x}=\mu$$

Theorem： $$SE=\sigma \overline{x}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

注意，$\sigma \overline{x}$是样本均值的标准差STD，又叫做标准误差（SE，Standard Error）, 它是衡量样本均值的波动程度。

Theorem: If the population is normally distributed, the distribution of sample mean is normal.(Independent of sample size n)

Theorem: If the population is not normally distributed, but the sample size n > 30, the sampling distribution of the sample means approximates normal.

关键点：

• 总体是什么分布。 现实中，我们也很难知道总体的分布。
• 样本大小n。

在不清楚总体分布的情况下， 我们取N个样本，每个样本的大小为n， 计算这N个样本的均值， 我们会发现，样本的均值的均值等于总体的均值。 当n越大(>30)时， 样本均值的分布越趋近于正太分布。实际上不仅仅是对样本均值而言，对样本其他统计特征(如median、sum、proportion)的分布也是趋近于正太分布的。

2 应用

• 在不知道总体的分布情况下， 我们可以用样本估计总体。

民意调查之类， 抽取一个样本（如1000）， 计算其均值，该均值可用于估计总体的均值（在总体均值附近）。 我的理解是，实际上，当我们取N个样本，计算这N个样本均值的均值能更准确的计算总体的均值。

• 判断样本是否属于总体。

已知总体均值和STD，给定一个样本（大于30），计算出SE，样本均值分布服从正太分布，判断该样本在该分布出现的概率。假如某个样本的平均值减去总体的平均值，大于3个标准误差。根据99.7%的样本平均值会处于总体平均值3个标准误差的范围内，因此我们可以得出该样本不属于总体。