专升本高数——第七章 多元函数的微分学【学习笔记】

参考相关公式请进入：专升本高数——常用公式总结大全【补充扩展】

https://blog.csdn.net/liu17234050/article/details/104439092        

全部知识点请进入：专升本高数——学习笔记【知识点全轻松学习】！！！
https://blog.csdn.net/liu17234050/article/details/104461016

目录：

一：多元函数的概念

1.二元函数的定义

典型题型（3个例题）

​2.二元函数的图形（几何意义）

二：多元函数的极限（二重极限）

1.平面点的邻域​

​2.二元函数的极限定义

​3.确定极限不存在的方法

​4.求二元函数极限的方法

5.典型题型（6个例题）

三：多元函数的连续性

1.定义

2.二元函数连续的条件

典型题型（1个例题）

3.区间上连续的定义

​4.间断点的概念

典型题型（1个例题）

​5.闭区域上连续函数的性质

（1）最大值最小值定理

​（2）介值定理

（3）典型题型（1个例题）

四：多元函数的偏导数

1.多元函数的偏导数概念

（1）定义

（2）偏导数记作

（3）自变量X、Y的偏导数 

（4）函数在点对Y的偏导

（5）函数在点对X的偏导

（6）三元函数偏导

（7）偏导数的本质

（8）典型题型（5个例题）

2.偏导数存在与连续的关系

典型题型（1个例题）

3.高阶偏导数   

(1)定义

（2）二元函数的二阶偏导数有如下形式

（3）典型题型（2个例题）

4.混合偏导数都相等吗?具备怎么样的条件才相等

典型题型（1个例题）

五：多元函数的全微分

1.元函数的全增量概念

​2.全微分的定义

​3.全微分的性质

4.讨论可微、连续、偏导的关系

5.定理​

6.多元函数连续、可导、可微的关系

7. 典型题型（4个例题）

六：多元函数复合函数的骗导数

1.复合函数的中间变量为多元函数的情形

（1）定理

​（2）链式法则

（3）典型题型（2个例题）

​2.复合函数的中间变量为一元函数的情形

典型题型（1个例题）

3.复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形

典型题型（1个例题）

4.含字母表示的抽象函数的多元复合函数的情形

典型题型（3个例题）

​5.一阶全微分形式不变性

典型题型（1个例题）

七：隐函数的微分方法

1.一元隐函数导数的求法

（1）隐函数求法的步骤

（2）隐函数存在定理1

（3）典型题型（1个例题）

​2.多元隐函数偏导数的求法

（1）求偏导数的公式

（2）隐函数存在定理2

（3）典型题型（2个例题）

八：偏导数的应用之一——几何应用

1.空间曲线的切线与法平面

（1）空间曲线的切线定义

​（2）空间曲线的切线方程

（3）典型题型（2个例题）

2.曲面的切平面与法线1

（1）空间曲面的切面的定义

（2）空间曲面的切平面的方程

（3）曲面在点的法线方程

（4）典型题型（2个例题）

九:偏导数的应用儿——求多元函数的极值及最值

1.二元函数极值的定义

​​2.多元函数取得极值的条件

（1）定理1（必要条件）

（2）定理1（充分条件）

（3）求函数极值的一般步骤

（4）典型题型（2个例题）

​3.二元函数的条件极值及其求法

（1）二元函数的条件极值的概念

（2）二元函数的条件极值的求法

方法一：化条件极值为无条件极值

（3）典型题型（1个例题）

（4）方法二：利用拉格朗日乘数法求条件极值

（5）求条件极值的步骤

（6）典型题型（3个例题）

---

一：多元函数的概念

1.二元函数的定义

典型题型（3个例题）

2.二元函数的图形（几何意义）

=============================================================================

二：多元函数的极限（二重极限）

1.平面点的邻域

2.二元函数的极限定义

3.确定极限不存在的方法

4.求二元函数极限的方法

5.典型题型（6个例题）

=============================================================================

三：多元函数的连续性

1.定义

2.二元函数连续的条件

典型题型（1个例题）

3.区间上连续的定义

4.间断点的概念

典型题型（1个例题）

5.闭区域上连续函数的性质

（1）最大值最小值定理

（2）介值定理

（3）典型题型（1个例题）

=============================================================================

四：多元函数的偏导数

1.多元函数的偏导数概念

（1）定义

（2）偏导数记作

（3）自变量X、Y的偏导数 

（4）函数在点对Y的偏导

（5）函数在点对X的偏导

（6）三元函数偏导

（7）偏导数的本质

（8）典型题型（5个例题）

2.偏导数存在与连续的关系

典型题型（1个例题）

3.高阶偏导数   

(1)定义

（2）二元函数的二阶偏导数有如下形式

（3）典型题型（2个例题）

4.混合偏导数都相等吗?具备怎么样的条件才相等

典型题型（1个例题）

=============================================================================

五：多元函数的全微分

1.元函数的全增量概念

2.全微分的定义

3.全微分的性质

4.讨论可微、连续、偏导的关系

5.定理

6.多元函数连续、可导、可微的关系

7. 典型题型（4个例题）

=============================================================================

六：多元函数复合函数的骗导数

1.复合函数的中间变量为多元函数的情形

（1）定理

（2）链式法则

（3）典型题型（2个例题）

2.复合函数的中间变量为一元函数的情形

典型题型（1个例题）

3.复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形

典型题型（1个例题）

4.含字母表示的抽象函数的多元复合函数的情形

典型题型（3个例题）

5.一阶全微分形式不变性

典型题型（1个例题）

=============================================================================

七：隐函数的微分方法

1.一元隐函数导数的求法

（1）隐函数求法的步骤

（2）隐函数存在定理1

（3）典型题型（1个例题）

2.多元隐函数偏导数的求法

（1）求偏导数的公式

（2）隐函数存在定理2

（3）典型题型（2个例题）

=============================================================================

八：偏导数的应用之一——几何应用

1.空间曲线的切线与法平面

（1）空间曲线的切线定义

（2）空间曲线的切线方程

（3）典型题型（2个例题）

2.曲面的切平面与法线1

（1）空间曲面的切面的定义

（2）空间曲面的切平面的方程

（3）曲面在点的法线方程

（4）典型题型（2个例题）

=============================================================================

九:偏导数的应用儿——求多元函数的极值及最值

1.二元函数极值的定义

2.多元函数取得极值的条件

（1）定理1（必要条件）

（2）定理1（充分条件）

（3）求函数极值的一般步骤

（4）典型题型（2个例题）

3.二元函数的条件极值及其求法

（1）二元函数的条件极值的概念

（2）二元函数的条件极值的求法

方法一：化条件极值为无条件极值

（3）典型题型（1个例题）

（4）方法二：利用拉格朗日乘数法求条件极值

（5）求条件极值的步骤

（6）典型题型（3个例题）