数据结构与算法之“分治算法”

• 2020-6-28
  • 卑鄙是卑鄙者的通行证，高尚是高尚者的墓志铭。
    北岛 – 《回答》

一、概述

分治算法（divide and conquer）的核心思想其实就是四个字，分而治之 ，也就是将原问题划分成 n 个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

这个定义看起来有点类似递归的定义。关于分治和递归的区别，分治算法是一种处理问题的思想，递归是一种编程技巧。实际上，分治算法一般都比较适合用递归来实现。分治算法的递归实现中，每一层递归都会涉及这样三个操作：

• 分解：将原问题分解成一系列子问题；
• 解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解；
• 合并：将子问题的结果合并成原问题。

分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：

• 原问题与分解成的小问题具有相同的模式；
• 原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别，等我们讲到动态规划的时候，会详细对比这两种算法；
• 具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小时，可以直接求解；
• 可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了。

二、应用举例分析

2.1、分治算法求解数据的有序度

在排序算法里有数据的有序度、逆序度的概念，我们用有序度来表示一组数据的有序程度，用逆序度表示一组数据的无序程度。

假设我们有 n 个数据，我们期望数据从小到大排列，那完全有序的数据的有序度就是 n(n-1)/2，逆序度等于 0；相反，倒序排列的数据的有序度就是 0，逆序度是 n(n-1)/2。除了这两种极端情况外，我们通过计算有序对或者逆序对的个数，来表示数据的有序度或逆序度。

现在的问题是，如何编程求出一组数据的有序对个数或者逆序对个数呢？因为有序对个数和逆序对个数的求解方式是类似的，所以你可以只思考逆序对个数的求解方法。

最笨的方法是，拿每个数字跟它后面的数字比较，看有几个比它小的。我们把比它小的数字个数记作 k，通过这样的方式，把每个数字都考察一遍之后，然后对每个数字对应的 k 值求和，最后得到的总和就是逆序对个数。不过，这样操作的时间复杂度是 O(n^2)。那有没有更加高效的处理方法呢？

我们用分治算法来试试。我们套用分治的思想来求数组 A 的逆序对个数。我们可以将数组分成前后两半 A1 和 A2，分别计算 A1 和 A2 的逆序对个数 K1 和 K2，然后再计算 A1 与 A2 之间的逆序对个数 K3。那数组 A 的逆序对个数就等于 K1+K2+K3。

我们前面讲过，使用分治算法其中一个要求是，子问题合并的代价不能太大，否则就起不了降低时间复杂度的效果了。那回到这个问题，如何快速计算出两个子问题 A1 与 A2 之间的逆序对个数呢？

这里就要借助归并排序算法了。你可以先试着想想，如何借助归并排序算法来解决呢？

归并排序中有一个非常关键的操作，就是将两个有序的小数组，合并成一个有序的数组。实际上，在这个合并的过程中，我们就可以计算这两个小数组的逆序对个数了。每次合并操作，我们都计算逆序对个数，把这些计算出来的逆序对个数求和，就是这个数组的逆序对个数了。

把这个过程翻译成了代码，你可以结合着图和文字描述一起看下。

private int num = 0; // 全局变量或者成员变量
 
public int count(int[] a, int n) {
  num = 0;
  mergeSortCounting(a, 0, n-1);
  return num;
}
 
private void mergeSortCounting(int[] a, int p, int r) {
  if (p >= r) return;
  int q = (p+r)/2;
  mergeSortCounting(a, p, q);
  mergeSortCounting(a, q+1, r);
  merge(a, p, q, r);
}
 
private void merge(int[] a, int p, int q, int r) {
  int i = p, j = q+1, k = 0;
  int[] tmp = new int[r-p+1];
  while (i<=q && j<=r) {
    if (a[i] <= a[j]) {
      tmp[k++] = a[i++];
    } else {
      num += (q-i+1); // 统计 p-q 之间，比 a[j] 大的元素个数
      tmp[k++] = a[j++];
    }
  }
  while (i <= q) { // 处理剩下的
    tmp[k++] = a[i++];
  }
  while (j <= r) { // 处理剩下的
    tmp[k++] = a[j++];
  }
  for (i = 0; i <= r-p; ++i) { // 从 tmp 拷贝回 a
    a[p+i] = tmp[i];
  }

有很多同学经常说，某某算法思想如此巧妙，我是怎么也想不到的。实际上，确实是的。有些算法确实非常巧妙，并不是每个人短时间都能想到的。比如这个问题，并不是每个人都能想到可以借助归并排序算法来解决，不夸张地说，如果之前没接触过，绝大部分人都想不到。但是，如果我告诉你可以借助归并排序算法来解决，那你就应该要想到如何改造归并排序，来求解这个问题了，只要你能做到这一点，我觉得就很棒了。

2.2、练习

• 二维平面上有 n 个点，如何快速计算出两个距离最近的点对？

• 有两个 nn 的矩阵 A，B，如何快速求解两个矩阵的乘积 C=AB？

三、参考资料

• 王争 – 《极客时间|数据结构与算法之美》