约束极值、SVM的总结

总结约束极值的基本内容以及SVM的基础知识，包含KKT条件

下降方向和可行方向

一般来讲，我们遇到的约束极值问题可以描述如下：

⎧⎩⎨⎪⎪minf(x)hi(x)=0i=1,2,...,mgi(x)⩾0j=1,2,...,l(1)

或者描述如下：

{minf(x)gi(x)⩾0j=1,2,...,l(2)

(可以理解为 gi(x)⩾0 以及 gi(x)⩽0 )

对于上述问题，我们可以假定有一个方向D，使得：

f(xk+λD)<f(xk)gj(xk+λD)⩾gj(xk)

对上述公式进行Taylor展开，那么会有：

f(xk+λD)=f(xk)+λD▽f(xk)+o(λ)gj(xk+λD)=gj(xk)+λD▽gj(xk)+o(λ)

因为 λ>0 ，因此上述公式可以去掉 λ ，就变为了下面公式：

D▽f(xk)<0D▽gj(xk)>0(3)

上述公式前者代表下降方向，后者代表可行方向。

KKT条件

我们假设一个点 X∗ 是极小值点，那么当这个点处于可行域内部，那么是无约束极值问题；如果是在可行域边界，那么就是约束极值问题了。

现假设 X∗ 只有一个起作用的约束，即 g1(X∗)=0 ，那么 ▽g1(X∗) 必然和 −▽f(X∗) 在一条直线上并且方向相反。否则，这个点就存在下降方向（图中的点 X 即为可行下降方向）。

因此在上述条件下，有：

▽f(X∗)−γ1▽g1(X∗)=0

以此类推，就会有如下内容：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽f(X∗)−∑j=1lγj▽gj(X∗)=0γjgj(X∗)=0j=1,2,...,lγj⩾0j=1,2,...,l(4)

上述式即为KKT条件，其中 γj 即为广义拉格朗日乘子。

▽f(X∗)−∑lj=1γj▽gj(X∗)=0 这个公式是对拉格朗日函数求微分得到的，拉格朗日函数可以表述如下：

L(X∗,γ)=f(X∗)−γg(X∗)=f(X∗)−∑j=1lγjgj(X∗)(5)

SVM分类器基本内容

设 xi,i=1,2,...,N 是训练集 X 中的特征向量，这些向量来自于类 o1 和类 o2 ，假设线性可分。我们的目的是得到一个超平面，将所有训练样本分类正确：

g(x)=ωTx+ω0=0(6)

由于线性可分，所以必定能找到一个超平面，使得两类之间的间隔最大。通过点到直线距离公式，我们可以得到这个间隔的为：

z=∣∣g(x)∣∣∥ω∥

我们等比例的缩放 ω ，满足下列条件即可：

ωTx+ω0⩾1∀x∈ω1ωTx+ω0⩽−1∀x∈ω2

其中，距离间隔最近的点的 g(x) 值为1或-1。因此根据上面的内容，可以将任务概述为计算超平面的参数 ω 和 ω0 ，约束极值问题如下：

minJ(ω,ω0)=12∥ω∥2yi(ωTx+ω0)⩾1,i=1,2,...,N(7)

设拉格朗如函数如下：

L(ω,ω0,λ)=12ωTω−∑i=1Nλi[yi(ωTx+ω0)−1](8)

根据KKT条件，极小值点需要满足如下条件：

∂∂ωL(ω,ω0,λ)=0∂∂ω0L(ω,ω0,λ)=0λi⩾0,i=1,2,...,Nλi[yi(ωTxi+ω0)−1]=0,i=1,2,...,N(9)

通过前两个式子，我们可以得到：

ω=∑i=1Nλiyixi(10)

一般到这里的话就需要求得拉格朗日乘子的值就可以得到相应解了，不过从计算的角度来看，这并不容易，因此我们可以通过求凸规划问题的对偶问题来解决计算问题，即将问题等价为其Wolfe双重表示形式，即变为：

maxL(ω,ω0,λ)∑i=1Nλiyi=0λi⩾0(11)