Diffie-Hellman算法

一、Deffie-Hellman 算法简介

Deffie-Hellman(简称 DH) 密钥交换是最早的密钥交换算法之一，它使得通信的双方能在非安全的信道中安全的交换密钥，用于加密后续的通信消息。 Whitfield Diffie 和 Martin Hellman 于 1976 提出该算法，之后被应用于安全领域，比如 Https 协议的 TSL(Transport Layer Security)以 DH 算法作为密钥交换算法。

二、背景知识

首先介绍一些跟DH算法相关的数学知识。

离散对数问题

假设a、p均为素数，则有以下等式：

{ a^1 mod p, a^2 mod p, ..., a^(p-1) mod p } = {1, 2, ... , p-1 }   {} 表示集合

对于任意一个数 x，若 0 < x < p，则必定存在唯一的 y 使得 x = a^y mod p，其中 0 < y < p。当p很大时，很难求出y，所以它能做为DH秘钥交换的基础。

求模公式:((a^x mod p)^y) mod p = a^xy mod p

证明如下：

假设 a^x = mp + n，其中0

三、DH算法原理

假设Alice和Bob希望在不安全的网络环境中协商一个对称密钥进行通信，那么可按如下步骤进行：

1、首先Alice保存自己的私钥a（随机数），Bob也保存自己的私钥b（随机数）
2、Alice计算 A = g^a mod p，并将g，p，A发给Bob
3、Bob计算 B = g^b mod p，然后将B发给Alice
4、Alice得到对称密钥K = B^a mod p = (g^b mod p)^a mod p = g^ab mod p 
5、Bob同样得到对称密钥K = A^b mod p = (g^a mod p)^b mod p = g^ab mod p

从此，Alice和Bob得到同样的密钥进行通行。

注意，其中a，b，g^ab mod p， g^ab mod p 是秘密的，其它值均公开。为保证安全性，a，b，p必须是非常大的数字。若p很小（例如p=10），则 g^ab mod p 最多可能有10个值(0~9)；若a和b很小，则最多有a*b个值(g^1 mod p，g^2 mod p，… g^ab mod p)。但是g不需要是一个很大的数，通常取2或5。

参考

1、https://skypacer210.github.io/2014/01/15/little-about-DH/
2、http://wsfdl.com/algorithm/2016/02/04/理解Diffie-Hellman密钥交换算法.html
3、https://zh.wikipedia.org/wiki/迪菲-赫爾曼密鑰交換