多元正态分布

多元正态分布

先定义一个d元随机向量，这里用列向量来表示，每一个元素都是一个一元随机变量，如

  ,其转置为 

其中表示这个多元随机变量的第i个分量，它是一个一维的随机变量。

高斯分布主要是用均值和方差来作为参数的分布，我们来看看随机向量的均值和方差

关于方差，在多元分布里面，就是协方差矩阵

其中

是协方差矩阵的逆， 是协方差矩阵的行列式

是非负矩阵，但是我们只考虑正定矩阵的情况

现在来看多元正态分布的函数表达式

现在来看二元正态分布的情况

均值

协方差矩阵

在来计算二维正态分布的协方差矩阵的行列式

因为

为了求出协方差矩阵的逆，首先看一下一些线性代数的概念，假设有矩阵

那么第i行，第j列的代数余子式为去掉A第i行，第j列之后的矩阵的行列式，记为

那上面的矩阵A为例子，那么

那么代数余子式为

那么我们可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵

同样用矩阵A来做例子，有如下公式

那么矩阵A的逆矩阵就是

现在来计算二元高斯函数的协方差矩阵的逆矩阵

那么协方差矩阵的伴随矩阵为：

那么协方差矩阵的逆矩阵为

指数部分

 

考虑到这里得到下面的结论

  

那么二元正态分布的函数表达式为

如果我们引入相关性，可以得到另外一种形式，先看相关性的定义

                                                                                                                                                           

其中

       
       

   
       同样
  

那么

变形得到，将其代入上面得到的二元正态分布函数中，可以得到另外一种表达方式

整理得到

   继续整理

   继续整理

得到

 

这就是用相关系数来表示的二维正态分布的表现形式

下面看看二维正态分布的条件分布公式

 

 

  

 

 

 

 

 

整理一下得到,条件分布公式为

 

 

可以看出，只要求出其中一个，另外一个的坐标做相应的调换就可以了