加减交替法的证明过程

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第4章 运算方法与运算器

第4章 运算方法与运算器

• 4.1 定点数的加减运算及实现
• 4.2 定点数的乘法运算及实现
• 4.3 定点数除法运算及实现
• 4.4 定点运算器的组成与结构
• 4.5 浮点运算及运算器
• 作业

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第4章 运算方法与运算器

4.3 定点数除法运算及实现

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第4章 运算方法与运算器

一、原码除法算法

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第4章 运算方法与运算器

1、手工除法算法

• X=+0.1011，Y=-0.1101
• X÷Y

• 改进手工算法即可适合机器运算：
  • 计算机通过做减法测试来实现判断：结果大于等于0，表明够减，商1；结果小于0，表明不够减，商0。
  • 计算机将余数左移一位，再直接与不右移的除数相减。

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第4章 运算方法与运算器

2、原码恢复余数算法

• 假设[X]_^原=X_^S .X_¹ X_² ……X_ⁿ ，[Y]_^原=Y_^S .Y_¹ Y_² ……Y_ⁿ ，Q是X÷Y的商，Q_^S是商的符号，R是X÷Y的余数，R_^S是余数的符号
• 原码除法运算的规则是：
  • 1.Q_^S = X_^S ⊕Y_^S ，R_^S = X_^S，|Q| = |X|÷|Y|-|R|÷|Y|
  • 2.余数和被除数、除数均采用双符号位；初始余数为|X|。
  • 3.每次用余数减去|Y|（通过加上[-|Y|]_^补来实现），若结果的符号位为0，则够减，上商1，余数左移一位；若结果的符号位为1，则不够减，上商0，先加|Y|恢复余数，然后余数左移一位。
  • 4.循环操作步骤3，共做n+1次，最后一次不左移，但若最后一次上商0，则必须+|Y|恢复余数；若为定点小数除法，余数则为最后计算得到的余数右移n位的值。

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第4章 运算方法与运算器

例如： X=+0.1011，

Y= - 0.1101

用原码恢复余数算法计算X÷Y。

解：[X]^原=0.1011

[Y]^原=1.1101 |X|=0.1011 |Y|=0.1101

[-|Y|]^补=11.0011

Q^S = X^S ⊕Y^S = 1 R^S = 0

得[Q]_^原=1.1101

[R]_^原=0.00000111

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第4章 运算方法与运算器

3、原码不恢复余数算法

• 又称为加减交替法：当某一次求得的差值（余数R_ⁱ)为负时，不是恢复它，而是继续求下一位商，但用加上除数（+|Y|）的办法来取代（-|Y|）操作，其他操作不变。
• 其原理证明如下：（注：其证明须借用 恢复余数法 的原理，如下所示：）
  • 在恢复余数除法中，若第i-1次求商的余数为R_^i-1，下一次求商的余数为R_ⁱ，则：R_ⁱ=2R_^i-1－|Y|
  • 如果R_ⁱ>=0，商的第i位上1，并执行操作：余数左移一位，再减|Y|，得R_ⁱ⁺¹，则：R_^i＋1=2R_ⁱ－|Y|（注：乘以2代表余数左移一位）
  • 如果R_ⁱ<0，商的第i位上0，并执行操作：恢复余数（+|Y|），将余数左移一位，再减|Y|，得R_ⁱ⁺¹。其过程可用公式表示如下：

R_ⁱ⁺¹=2（R_ⁱ+|Y|）－|Y|=2R_ⁱ+2|Y|－|Y|=2R_ⁱ+|Y|（乘以2原因同上）

红色字体的式子就是我们想要的结论：即 加减交替法 的理论依据。这些显然是建立在恢复余数法的理论基础上的。

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第4章 运算方法与运算器

3、原码不恢复余数算法

• 加减交替法的规则如下：
  • 余数为正时，商上1，求下一位商的办法，是余数左移一位，再减去除数；
  • 当余数为负时，商上0，求下一位商的办法，是余数左移一位，再加上除数。
  • 若最后一次上商为0，而又需得到正确余数，则在这最后一次仍需恢复余数。

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第4章 运算方法与运算器

例如：X=+0.1011， Y=-0.1101，用原码不恢复余数算法计算X÷Y。

解：[X]_^原=0.1011 [Y]_^原=1.1101 |X|=0.1011 |Y|=0.1101

[-|Y|]_^补=11.0011

Q_^S = X_^S ⊕Y_^S = 1 RS = 0

[Q]_^原=1.1101

[R]_^原=0.00000111

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第4章 运算方法与运算器

二、原码除法的硬件实现

控制电路逻辑

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第4章 运算方法与运算器

原码不恢复余数除法流程

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第4章 运算方法与运算器

三、阵列除法器

• 被除数X=X_¹ X_² X_³ X_⁴ X_⁵ X_⁶，除数Ｙ=Ｙ_¹Ｙ_²Ｙ_³得到的商Q=Q_¹Q_²Q_³（Q0=0），R= R_⁴ R_⁵ R_⁶。
• 若为定点小数，则X=0.X_¹ X_² X_³ X_⁴ X_⁵ X_⁶，除数Ｙ=0.Ｙ_¹Ｙ_²Ｙ_³，得到的商Q=0.Q_¹Q_²Q_³（Q_⁰=0），R=0.000 R_⁴ R_⁵ R_⁶
• 构成的基本部件：可控加减单元CAS

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第4章 运算方法与运算器

三、阵列除法器

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第4章 运算方法与运算器

4.4 定点运算器的组成与结构

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第4章 运算方法与运算器

一、定点运算器的组成

• 基本组成包括：
  • 算术逻辑运算单元ALU：核心部件
  • 暂存器：用来存放参与计算的数据及运算结果，它只对硬件设计者可见，即只被控制器硬件逻辑控制或微程序所访问
  • 通用寄存器堆：用于存放程序中用到的数据，它可以被软件设计者所访问。
  • 内部总线：用于连接各个部件的信息通道。
  • 其他可选电路

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第4章 运算方法与运算器

一、定点运算器的组成

• 设计定点运算器，如何确定各部件的功能和组织方式是关键，这取决于以下几个方面：
  • 指令系统
  • 机器字长
  • 机器数及其运算原理
  • 体系结构

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第4章 运算方法与运算器

二、定点运算器的总线结构

• 1、单总线结构
  • 单总线运算器的结构形式1

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第4章 运算方法与运算器

二、定点运算器的总线结构

• 单总线运算器的结构形式2

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第4章 运算方法与运算器

• 2、双总线结构
  • 双总线运算器的结构形式1

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第4章 运算方法与运算器

• 双总线运算器的结构形式2

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第4章 运算方法与运算器

• 3、三总线结构

• 最后必须指出的是，在分析某一种运算器的运算过程和通路时，一个基本的原则就是在一个CPU周期（一步）内，某条总线上的数据必须是唯一的，且不能保留（至下一个CPU周期）。

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第4章 运算方法与运算器

作业

• P108: 6，7

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第4章 运算方法与运算器

The End !

收藏于 2009-09-16