皇后游戏

题目背景

还记得 NOIP 2012 提高组 Day1 的国王游戏吗?时光飞逝,光阴荏苒,两年
过去了。国王游戏早已过时,如今已被皇后游戏取代,请你来解决类似于国王游
戏的另一个问题。

题目描述

皇后有 n 位大臣,每位大臣的左右手上面分别写上了一个正整数。恰逢国庆
节来临,皇后决定为 n 位大臣颁发奖金,其中第 i 位大臣所获得的奖金数目为第
i-1 位大臣所获得奖金数目与前 i 位大臣左手上的数的和的较大值再加上第 i 位
大臣右手上的数。
形式化地讲:我们设第 i 位大臣左手上的正整数为 ai,右手上的正整数为 bi,
则第 i 位大臣获得的奖金数目为 ci可以表达为:
皇后游戏_第1张图片
当然,吝啬的皇后并不希望太多的奖金被发给大臣,所以她想请你来重新安
排一下队伍的顺序,使得获得奖金最多的大臣,所获奖金数目尽可能的少。
注意:重新安排队伍并不意味着一定要打乱顺序,我们允许不改变任何一
位大臣的位置。

输入输出格式

输入格式:
第一行包含一个正整数 T,表示测试数据的组数。
接下来 T 个部分,每个部分的第一行包含一个正整数 n,表示大臣的数目。
每个部分接下来 n 行中,每行两个正整数,分别为 ai和 bi,含义如上文所述。

输出格式:
共 T 行,每行包含一个整数,表示获得奖金最多的大臣所获得的奖金数目。

输入输出样例

输入样例#1:
1
3
4 1
2 2
1 2
输出样例#1:
8
输入样例#2:
2
5
85 100
95 99
76 87
60 97
79 85
12
9 68
18 45
52 61
39 83
63 67
45 99
52 54
82 100
23 54
99 94
63 100
52 68
输出样例#2:
528
902

说明

按照 1、2、3 这样排列队伍,获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 10;
按照 1、3、2 这样排列队伍,获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9;
按照 2、1、3 这样排列队伍,获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9;
按照 2、3、1 这样排列队伍,获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 8;
按照 3、1、2 这样排列队伍,获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9;
按照 3、2、1 这样排列队伍,获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 8。
当按照 3、2、1 这样排列队伍时,三位大臣左右手的数分别为:
(1, 2)、(2, 2)、(4, 1)
第 1 位大臣获得的奖金为 1 + 2 = 3;
第 2 位大臣获得的奖金为 max{3, 3} + 2 = 5;
第 3 为大臣获得的奖金为 max{5, 7} + 1 = 8。
对于全部测试数据满足: T10 T ≤ 10 , 1n20 000 1 ≤ n ≤ 20   000 , 1ai,bi109 1 ≤ a i , b i ≤ 10 9

【题解】
我们用对邻项微扰的方法解决,可以知道我们如果改变 i i i+1 i + 1 将不会对其他人造成影响,同时我们知道右边的大臣总是大于左边的大臣所获得的奖赏,所以为了使获得奖赏最多的大臣所获得得最少,我们就要使得交换前比交换后的 i i 位更小
交换前:

ci=max{ci1,j=1i1aj+ai}+bi c i = m a x { c i − 1 , ∑ j = 1 i − 1 a j + a i } + b i

ci+1=max{max{ci1,j=1i1aj+ai}+bi,j=1i1aj+ai+ai+1}+bi+1 c i + 1 = m a x { m a x { c i − 1 , ∑ j = 1 i − 1 a j + a i } + b i , ∑ j = 1 i − 1 a j + a i + a i + 1 } + b i + 1 · · · · · · ①

交换后:
ci=max{ci1,j=1i1aj+ai+1}+bi+1 c i = m a x { c i − 1 , ∑ j = 1 i − 1 a j + a i + 1 } + b i + 1

ci+1=max{max{ci1,j=1i1aj+ai+1}+bi+1,j=1i1aj+ai+ai+1}+bi c i + 1 = m a x { m a x { c i − 1 , ∑ j = 1 i − 1 a j + a i + 1 } + b i + 1 , ∑ j = 1 i − 1 a j + a i + a i + 1 } + b i · · · · · · ②

我们知道交换前与交换后的 ci<ci+1 c i 总 是 < c i + 1 所以我们考虑 ci+1 c i + 1
我们将①和②的式子略微化简得:
交换前:
ci+1=max{ci1+bi+bi+1,j=1i1aj+ai+bi+bi+1,j=1i1aj+ai+ai+1+bi+1} c i + 1 = m a x { c i − 1 + b i + b i + 1 , ∑ j = 1 i − 1 a j + a i + b i + b i + 1 , ∑ j = 1 i − 1 a j + a i + a i + 1 + b i + 1 } · · · · · · ③

交换后:
ci+1=max{ci1+bi+bi+1,j=1i1aj+ai+1+bi+bi+1,j=1i1aj+ai+ai+1+bi} c i + 1 = m a x { c i − 1 + b i + b i + 1 , ∑ j = 1 i − 1 a j + a i + 1 + b i + b i + 1 , ∑ j = 1 i − 1 a j + a i + a i + 1 + b i } · · · · · · ④

再一次发现两个式子的第一项相等,且剩下的每一项都有 i1j=1aj ∑ j = 1 i − 1 a j 所以删去,再一步化简得:
交换前:
ci+1=max{ai+bi+bi+1,ai+ai+1+bi+1} c i + 1 = m a x { a i + b i + b i + 1 , a i + a i + 1 + b i + 1 } · · · · · · ⑤

交换后:
ci+1=max{ai+1+bi+bi+1,ai+ai+1+bi} c i + 1 = m a x { a i + 1 + b i + b i + 1 , a i + a i + 1 + b i } · · · · · · ⑥

到此为止排序条件就出来了就是
max{ai+bi+bi+1,ai+ai+1+bi+1}<max{ai+1+bi+bi+1,ai+ai+1+bi} m a x { a i + b i + b i + 1 , a i + a i + 1 + b i + 1 } < m a x { a i + 1 + b i + b i + 1 , a i + a i + 1 + b i }
由于 1ai,bi109 1 ≤ a i , b i ≤ 10 9 我们开long long就可以解决了,但万一 ai,bi a i , b i 巨大,我们所以还得再化简
观察我们可以令每一项删去 ai+ai+1+bi+bi+1 a i + a i + 1 + b i + b i + 1 得:
max{ai+1,bi}<max{ai,bi+1} m a x { − a i + 1 , − b i } < m a x { − a i , − b i + 1 }

也就是
min{ai,bi+1}<min{ai+1,bi} m i n { a i , b i + 1 } < m i n { a i + 1 , b i }

#include
#include
#define LL long long
using namespace std;
struct Node {
    LL a,b;
} t[21000];
LL C[21000];
bool cmp(Node x,Node y) {
    return max(x.a+x.b+y.b,x.a+y.a+y.b)<
           max(y.a+x.b+y.b,x.a+y.a+x.b);
}
int main() {
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%d%d",&t[i].a,&t[i].b);
        sort(t+1,t+1+n,cmp);
        LL sum=C[0]=0;
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            sum+=t[i].a;
            C[i]=max(C[i-1],sum)+t[i].b;
        }
        printf("%lld\n",C[n]);
    }
    return 0;
}

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