算法概论8.16题解

这里要分析的是算法概论第8章NPC的一道课后题。

题目

我的分析

1. 题意
   答：这道题目是要求对于Experimental Cuisine问题可以在多项式时间解答是否可以表明3SAT问题也可以在多项式时间里面解决，Experimental Cuisine的案例中，我们可以从n种材料中选择材料进行搭配，其中 n×n 的矩阵表示了材料 i 和材料 j 搭配在一起的不和谐程度，越接近0即表示越能完美搭配，越接近1表示越不能搭配，最终的目的是在规定的不和谐程度的范围内，如何最大化的找到最多的可搭配的材料。

2. 什么是3SAT？
   答：在3SAT中，问题的输入是一个子句（clause）的集合，每个子句包含不超过3个的文字（即变量，取值True或者False）。每个括号之间是合取（即取交集），括号里面是析取（即取并集），3SAT的问题核心在于，能否找到可满足赋值。

3. 转换思路
   考虑怎么把一个3SAT实例转化成一个EXPERIMENTAL CUISINE问题，这里可以将独立集问题规约为Experimental Cuisine问题。

   规约过程：将Experimental Cuisine中的n种材料看作是图G中的 n 个点。令材料之间的不和谐程度变为0～1值，即0表示完美搭配，其余全为不搭配，不和谐程度矩阵变为01矩阵，不和谐程度值 p=0 ，那么独立集问题可以规约到Experimental Cuisine问题。

   证明过程：将 n×n 的不搭配矩阵看作是图G中各点的邻接情况如果 i 和 j 不搭配，即两个点相邻，相应的矩阵中的值为1，如果两个点不相邻，即完美搭配，相应的矩阵中的值为0。给定一个图和整数g，独立集问题的目标就是求图中的g个相互独立的顶点，即任意两个这样的顶点间都不存在相连的边，那么令搭配材料的不和谐程度 p=0 ，那么求解的独立集的大小就是Experimental Cuisine 的最大可选材料数量，所以Experimental Cuisine即为独立集问题的规约问题，而独立集问题又是3SAT的规约问题，那么3SAT问题可以规约到Experimental Cuisine问题。如果Experimental Cuisine问题多项式时间可解，3SAT问题也可以。