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科学Sciences导读：计算机前传之结绳、算筹、算盘等手动计算，到加法机、乘法机、分析机等机械计算，重点讲述算盘和机械加法机的原理，展示分析机复杂图样。本期铺垫，下期纸带机、电传纸带机、单任务电子计算机是理解图灵机、图灵完备理论基础之一和实物背景知识。此文为“科学Sciences”公号操作系统、指令集、编译器、机械计算机、电子计算机等CS计算机科学系列科普文章。时势造英雄，做事要平台，看清计算史，简化再发展。

计算机器前传：结绳、算筹、算盘等手动计算发展史

文|秦陇纪，科学Sciences20181119Mon1125Sun

人类学会用工具辅助自己计算和记录，从最早的结绳记事到算筹、算盘、日晷、沙漏的使用，后来出现加法机、乘法机、差分机、分析机等机械计算机，再到纸带机、电子计算机、微电子计算机等电子计算机，一直到如今的台式机、笔记本、平板、智能手机、智能手表等智能计算设备......

一、手动计算器概述

说起古老的记事和计算方式，早在公元前3000年，古埃及人用结绳来记录土地面积和谷物收获的情况。这种传统结绳记事方式至今仍被一些没有文字的遗存文明所使用。而早期的计算器为纯手动方式，如算筹、算盘等。算筹通过短棍摆放的位置在表示数字；算盘通常以可滑动的珠子制成。在西方，算盘在印度阿拉伯数字流行前使用了数个世纪，近代中国记帐与商务仍广泛使用。

古代印加人的奇普(Quipu或khipu)是一种结绳记事方法，用来计数或记录历史，是最早的计算工具。它由许多颜色的绳结编成。[1]中国古代最早采用一种计算工具叫筹策，又叫算筹，多用竹子制成，也有用木头、兽骨充当材料的，约270枚一束，放在布袋里可随身携带。汉代直今使用的珠算盘(Abacus)，是中国古代另一项计算工具发明。明代时珠算盘已经与现代的珠算盘几乎相同。[2]

二、算筹：最原始的计算器

算盘之前，还有更古老的计算工具——算筹。它们都有个“算”字，但形象差别相当大。算盘是一个长方形木框，内设支柱，柱上有算珠。而去掉算盘的框架和算珠，剩下的支柱就像是算筹了。在算筹之前，古代人们还使用过石子作为计算工具。但石子大小有别，很难进行加工，另外携带起来也颇为不便。久而久之，以木棍为主的筹算就成为了主要的计算工具。

算筹不是随便找几根木棍凑在一起，而是有一套相应的制作规则。首先，作为算筹的木棍要长短相同，不能参差不齐；其次，木棍的粗细也要统一，尽量保持“身材一致”；算筹的长度一般为13-14cm，径粗0.2-0.3cm；在当时，市面上最常见的算筹多用竹子制成，另外也有取材于木头、兽骨等，更为高级一些的算筹则使用象牙或者贵重金属制成。

一般来说，算筹是其统称，单根木棍成为筹(现在通常认定，算筹既可表示一整套计算工具，也可表示单独一根筹)，大约270枚筹为一束，通常的计算用这270枚则足矣。

由于算筹不像算盘那样是一个统一的整体，因此就需要一个特制的布袋来盛放这些互相独立的算筹，就像荷包一样系在腰部随身携带。这个布袋叫做筹袋。在古代，腰间系着筹袋，就能说明自己是一个有学问的人。这跟我国七八十年代的知识分子喜欢在衬衣的口袋里别一根钢笔有异曲同工之妙。当人们需要记数和计算的时候，就取出算筹，找到一个合适的地方进行计算。

春秋战国时期，算筹使用较为频繁，实际发明年代远早于此，其具体发明时间已不可考。西周时期，我国数学发展就已经取得相当成就，到秦朝，数学得到更为蓬勃的发展，这些都与筹算息息相关。据记载，墨子止楚攻宋和沙盘演练使用的就是筹；有学者认为，我国古代的伏羲八卦也跟筹算密不可分，八卦的造型就是用筹摆设出来的。宋元之后，筹算开始没落，取而代之的是珠算，也就是我们熟知的算盘。

著名华裔科幻作家刘宇昆曾写过一篇科幻小说，表达神秘的结绳记事方式。但结绳记事并非古埃及原创，据《易经》记载“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”到了公元前2000年，美索不达米亚人用楔形文字在泥板上进行计算。但是这些跟算筹比起来，就不在一个量级。前两者只能做一些简单的计算和记录，而算筹则通过其特殊的摆法可以进行加减乘除，是一个不折不扣的计算器。

2.1 算筹的表达和计算数字的方法

使用算筹进行计算，首先需要了解数字在算筹计数法中的表达方式。算筹有两种排列方式，分为纵和横，其中数字“1、2、3”以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，乍看之下，有一些像罗马数字“Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ”，如果以横列表示，则像是这三个数字的大写“一、二、三”，数字“4、5”则在“3”的基础上增加相应的筹数即可。数字“6-9”的表示方式相对有些复杂，需要用上面的算筹加下面相应的算筹来表示。不过也可以参考罗马数字“Ⅳ、Ⅸ”的方式来进行理解。需要表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。

之所以要分纵横两种不同的摆法，是因为算筹的摆放有一套既定的规则：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式等等。从右到左，纵横相间，以此类推，只要有足够多的木棍，就可以用算筹表示出任何自然数。由于它位与位之间的纵横变换，且每一位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”《夏阳侯算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张。”这些讲的都是算筹的一些使用法则。

2.2 算筹的计算模式

筹算所使用的计算方式是十进位制。十进位制又称十进位值制，其中包含有两方面含义。其一是“十进制”，即每满十数进一个单位；其二是“位值制”，即每个数码所表示的数值，不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。例如“3”这个数码，在个位上表示3，放在十位上就表示30。在我国商代的文字记数系统中，就已经有了十进位值制的萌芽，到了算筹记数和运算时，就更是标准的十进位值制。

十进位值制经过验证是最符合数学计算的一种位值制，相比同时期的其他国家，我国当时的数学要远远领先。古罗马的数字系统没有位值制，只有七个基本符号，别说计算，就是表示稍大一点的数目就相当困难；古美洲玛雅人比古罗马人聪明一些，他们掌握了位值制，但用的是20进位；古巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。20进位至少需要19个数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便。了解了这些，就可以用算筹来进行加减乘除的运算啦。当然，那就是另外一门比算筹本身更加复杂和磅礴的学问了。试一下通过摆放算筹来进行计算，是不是很有意思呢？

三、算盘——流传至今的原始计算器

算盘，又作祘盘、珠算盘，是中国祖先创造发明的一种简便的计算工具。珠算盘起源于北宋时代，北宋串档算珠。中国是算盘的故乡，在计算机已被普遍使用的今天，古老的算盘不仅没有被废弃，反而因它的灵便、准确等优点，在许多国家方兴未艾。因此，人们往往把算盘的发明与中国古代四大发明相提并论，北宋名画《清明上河图》中赵太丞家药铺柜就画有一架算盘。由于珠算盘运算方便、快速，几千年来一直是中国古代劳动人民普遍使用的计算工具，即使现代最先进的电子计算器也不能完全取代珠算盘的作用。

图3 算盘图册

中文名：算盘，外文名：Abacus，拼音：suànpán，发源地：中国，用途：算术运算，使用历史：2600多年，形状：长方形，别称：祘盘，算盘种类：沙盘类，算板类，穿珠算盘类。发明者：刘洪。

3.1 词语解释(▪基本解释▪引证解释)

3.1.1 基本解释

(1)[abacus]∶中国使用的一种计算用具，一木框中嵌有细杆，杆上串有圆珠，圆珠可沿细杆上下拨动，通过用手拨动算盘珠来完成算术运算。

她们那快乐的心里便时时闪过了这样的算盘：夹衣和夏衣都在当铺里，这可先得赎出来；过端阳节也许可以吃一条黄鱼。——《春蚕》

(2)[thinking]∶比喻计划、打算。如意算盘。[3]

3.1.2 引证解释

1、一种计算数目的工具。

其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”。一般从九档至十五档，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，运算时定位后拨珠计算，可以做加减乘除等算法。清钱大昕《十驾斋养新录·算盘》：“古人布算以筹，今用算盘，以木为珠，不知何人所造，亦未审起于何代。案陶南村《辍耕録》有走盘珠、算盘珠之喻，则元代已有之矣。”

2.比喻计划。

①《红楼梦》第五三回：“我心里却有个算盘，还不至此田地。”

②《官场现形记》第十二回：“所以周老爷打了这个算盘，认定主意一直叫他。”

③高云览《小城春秋》第三六章：“赵雄所以愿意这样做，是有他自己的算盘的。”[4]

④老舍《四世同堂》八八：“如果你们俩胆敢合起来算计我，那就打错了算盘。”

3.2 基本概念

算盘是计算数目的工具。现存的算盘形状不一、材质各异。一般的算盘多为木制(或塑料制品)，由矩形木框内排列一串串等数目的算珠，中有一道横梁把珠统分为上下两部分，算珠内贯直柱，俗称“档”，一般为9档、11档或13档。档中横以梁，梁上1珠，这珠为5；梁下5珠，每珠为1。

图4 文王桃木算盘

算盘是长方形的，四周是木框，里面固定着一根根小木棍，小木棍上穿着木珠，中间一根横梁和算盘分成两部分，每根木棍的上半部有两个珠子，每个珠子当五，下半部有五个珠子，每个珠子代表一。

用算盘计算称珠算，珠算有对应四则运算的相应法则，统称珠算法则。随着算盘的使用，人们总结出许多计算口诀，使计算的速度更快了。相对一般运算来看，熟练的珠算不逊于计算器，尤其在加减法方面。用时，可依口诀，上下拨动算珠，进行计算。珠算计算简便迅捷，在计算器及电脑普及前，为我国商店普遍使用的计算工具。[5]

“下面的当一，上面的当五。一盘小小珠算，把世界算得清清楚楚。哪家贪赃枉法？哪家洁白清苦？俺教你心中有个准数。三下五去二，二一添作五。天有几多风云？人有几多祸福？君知否？这世界缺不了加减乘除！”——1995年中央电视台春节联欢晚会《算盘歌》的歌词。

短短几句，将算盘的功能、作用唱得清清楚楚、明明白白。“算盘的发明，并不比中国古代的四大发明逊色，在某种程度上来说，算盘对世界的贡献要远大于四大发明。”——钱学森

3.3 算盘种类

值得注意的是，“算盘”一词并不专指中国算盘。现有文献资料来看，许多文明古国都有过各自的与算盘类似的计算工具。古今中外的各式算盘大致可以分为三类：沙盘类，算板类，穿珠算盘类。

①沙盘是在桌面、石板等平板上，铺上细沙，人们用木棍等在细沙上写字、画图和计算。

②后来逐渐不铺沙子，而是在板上刻上若干平行的线纹，上面放置小石子(称为“算子”)来记数和计算，这就是算板。19世纪中叶在希腊萨拉米斯发现的一块1米多长的大理石算板，就是古希腊算板，现存在雅典博物馆中。算板一直是欧洲中世纪的重要计算工具，不过形式上差异很大，线纹有直有横，算子有圆有扁，有时又造成圆锥形(类似跳棋子)，上面还标有数码。

③穿珠算盘指中国算盘、日本算盘和俄罗斯算盘。日本算盘叫“十露盘”，和中国算盘不同的地方是，算珠的纵截面不是扁圆形而是菱形，尺寸较小而档数较多。俄罗斯算盘有若干弧形木条，横镶在木框内，每条穿着10颗算珠。在世界各种古算盘中，中国的算盘是最先进的珠算工具。[6]

(注1：摘自《影响人类生活的100大发明》)

3.4 发展起源(▪概述▪文献▪考证▪鉴赏▪传播▪申遗▪收藏价值)

3.4.1 概述

算盘是中国传统的计算工具。中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代的一项伟大、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具。

算盘由古代的“筹算”演变而来。“筹算”是一种用竹签作筹码进行运算的计算方法。算盘究竟是何时何人发明的，现在已经无法考究。民间传说它是由黄帝手下一名叫隶首的人发明出来的。

隶首是黄帝宫里的大会计，相当于今天的财政部长。为了方便记账，他做了一个大泥盘，然后将珍珠钻孔，每10颗一串，共穿了10串，并写清位数，如个位、十位、百位、千位等。这种新奇方便的记数方法使当时繁杂、混乱的账务管理一下子变得简洁、明了。

据史料记载，早在汉代，我国就有算盘，尽管形制与现在有所不同，但中梁以上一珠当五，中梁以下各珠当一，则与现代完全相同。

据我国历史学家考证，“算盘”的名称最早出现于元代学者刘因撰写的《静修先生文集》里。明代时，珠算发展到了顶峰。1593年，明代数学家程大位所著《算法统宗》面世。以珠算应用为主，全书共17卷，载有算盘图式和珠算口诀，并首次提到了用算盘做开平方和开立方的运算。

关于算盘的来历，还有一说，最早可以追溯到汉末三分时期，关羽所发明，据说我国当时就有了"算板"。古人把10个算珠串成一组，一组组排列好，放入框内，然后迅速拨动算珠进行计算。

据公开资料显示，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才。”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的。每位各有5颗珠，上面一颗珠与下面四颗珠用颜色来区别，后称之为“档”。上面一珠当五，下面四珠每珠当一。而今天的解释是：算盘为长方形，木框中嵌有细杆，杆上串有算盘珠，算盘珠可沿细杆上下拨动，通过用手拨动算盘珠来完成算术运算。[7]

古时候，人们用小木棍进行计算，这些小木棍叫"算筹"，用算筹作为工具进行的计算叫"筹算"。后来，随着生产的发展，用小木棍进行计算受到了限制，于是，人们又发明了更先进的计算工具--算盘。到了明代，珠算不但能进行加减乘的运算，还能计算土地面积和各种形状东西的大小。

3.4.2 文献

算盘究竟是何人发明的，无法考察。但它的使用应该是很早。东汉末年，数学家徐岳《数术纪遗》载：“珠算控带四时，经纬三才。”北周甄鸾注云：“刻板为三分，位各五珠，上一珠与下四珠色别，其上别色之珠当五，其下四珠各当一。”汉代即有算盘，但形制与现今不同。不过，中梁以上一珠当五，中梁以下各珠当一，则与现代相同，又据徐岳说，他的老师刘洪曾问学于道家天目先生，天目先生解释了14种计算方法，其中一种就是珠算，可见至迟在东汉已经出现算盘。有些历史学家认为，算盘的名称，最早出现于元代学者刘因(1249——1293年)撰写的《静修先生文集》里。在《元曲选》无名氏《庞居士误放来生债》里也提到算盘。剧中有这样一句话：“闲着手，去那算盘里拨了我的岁数。”公元1274年，杨辉在《乘除通变算宝》里，1299年朱世杰在《算学启蒙》里都记载了有关算盘的《九归除法》。公元1450年，吴敬在《九章详注比类算法大全》里，对算盘的用法记述较为详细，张择瑞在《清明上河图》中画有一算盘，可见，早在北宋或北宋以前我国就已普遍使用算盘这一计算工具了。

我国的算盘由古代的“筹算”演变而来。“筹算”就是运用一种竹签作筹码来进行运算。唐代末年，已见筹算乘除法的改进，到宋代产生了筹算的除法歌诀。15世纪中期，《鲁班木经》中有制造算盘的规格。由于算盘普及，论述算盘的著作也随之产生，流行最久的珠算书是1593年明代程大位所辑的《算法统宗》。《算法统宗》是一部以珠算应用为主的算书。全书共17卷，有595个应用题，多数问题摘自其他算书，但所有计算都改用珠算。书中载有算盘图式和珠算口诀，并举例说明如何按口诀在算盘上演算。其中开平方和开立方的珠算法是程大位首先提出来的。书末附录“算经源流”记载了宋元以来的51种数学书名，其中大部分已失传，这个附录便成了宝贵的数学史料。由于珠算口诀便于记忆，运用又简单方便，因而在我国被普遍应用，同时也陆续传到了日本、朝鲜、印度、美国、东南亚等国家和地区。

随着算盘的使用，人们总结出许多计算口诀，使计算的速度更快了。这种用算盘计算的方法，叫珠算。在明代，珠算已相当普及，并且出版了不少有关珠算的书籍，其中流传至今，影响最大的是程大位(1533～1606)的《直指算法统宗》(1592)。

3.4.3 考证

图5 算盘

中国是算盘的故乡，在计算机已被普遍使用的今天，古老的算盘不仅没有被废弃，反而因它的灵便、准确等优点，在许多国家方兴未艾。因此，人们往往把算盘的发明与中国古代四大发明相提并论，认为算盘也是中华民族对人类的一大贡献。然而，中国是什么时候开始有算盘的呢？从清代起，就有许多算学家对这一问题进行了研究，日本的学者也对此投入不少精力。由于缺少足够的证据，算盘的起源问题直至今天仍是众说纷纭，莫衷一是。归纳起来，主要有三说。

一是清代数学家梅启照等主张的东汉、南北朝说。其依据是，东汉数学家徐岳写过一部《数术记遗》，其中著录了十四种算法，第十三种即称“珠算”，并说：“珠算，控带四时，经纬三才。”后来，北周数学家甄鸾对这段文字作了注释，称：“刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别，其上别色之珠当五，其下四珠，珠各当一。至下四珠所领，故云‘控带四时’。其珠游于三方之中，故云‘经纬三才’也。”这些文字，被认为是最早关于珠算的记载。当时的五珠中算盘不是穿珠算盘——珠中无孔(没有档),名曰珠盘和盘珠。那时把涂有不同颜色的算珠放在一个刻有一排排纵向弧形槽内的木盘上。但是一些学者认为，此书描写的珠算，充其量不过是一种记数工具或者只能作加减法的简单算板，与后来出现的珠算，不能同日而语。

二是清代学者钱大听等主张的元明说，即算盘出现在元朝中叶，到元末明初已普遍使用。元代陶宗仪《南村辍耕录》第二十九卷《井珠》，引当时谚语形容奴仆说：“凡纳婢仆，初来时曰擂盘珠，言不拨自动；稍久，曰算盘珠，言拨之则动；既久，曰佛顶珠，言终日凝然，虽拨亦不动。”后人称此为“三珠戏语”。把老资格的奴婢比作算盘珠，拨一拨动一动，说明当时的算盘已很普及。宋末末元初人刘因的《静穆先生文集》中有一首以《算盘》为题的五言绝句：“不作翁商舞，休停饼氏歌。执筹仍蔽簏，辛苦欲如何。”这也是算盘在元代出现的明证。至于明朝，永乐年间编的《鲁班木经》中，已有制造算盘的规格、尺寸，还出现了徐心鲁《算珠算法》、程大位《直指算法统宗》等介绍珠算用法的著作，因此算盘在明代已被广泛使用，这是毫无疑问的了。

随着新史料的发现，又形成了算盘起源于唐朝、流行于宋朝的第三说。其依据是，一，宋代名画《清明上河图》中，画有一家药铺，其正面柜台上赫然放有一架算盘，经中日两国珠算专家将画面摄影放大，确认画中之物是与现代使用算盘形制类似的串档算盘。二，1921年在河北巨鹿县曾挖掘到一颗出于宋人故宅的木制算盘珠，已被水土淹没八百年，但仍可见其为鼓形，中间有孔，与现代算珠毫无两样。三，刘因是宋末元初人，他的《算盘》诗，与其说是描写元代的事物，还不如说是宋代事物的反映更为确切。同样，陶宗仪的“三珠戏语”所见元人谚语中已有算盘珠之说，也反映出“是法盛行于宋矣”(《四库全书总目提要》“算法统宗”条)。四，元初的蒙学课本《新编相对四言》中，有一幅九档的算盘图，既然在元初已为训蒙内容，可见已是寻常之物，它的出现，至少可上推到宋代。此外，宋代的算盘从形制看已较成熟，没有新生事物常有的那种笨拙或粗糙。因此，较多的算学家认为，算盘的诞生还可上推到唐代。因为宋以前的五代十国时期战乱不断，科技文化的发展较为滞缓，算盘诞生于此时的可能性较小。而唐代是中国历史上的盛世，经济文化都较发达，需要有新的计算工具，使用了两千年的筹算在此时演变为珠算，算盘在这时被发明，是极有可能的。算盘是中华民族宝贵的文化遗产，有关它的起源却争论了上百年，无法统一。但愿有更多的有志者投入进一步的探索与研究，早日得出科学的结论，以告慰于古人、无愧于后代。

3.4.4 鉴赏

清景德镇窑青花婴戏算盘是按照中国的传统计算器具造型而成，长29.7厘米，宽13.9厘米，厚3厘米，重1702克。长方形，仿木制算盘烧造，由矩形瓷框内均等排列一串串等数目的算珠，中有一道瓷横梁把珠子统分为上下两部分，算珠内贯直柱，可沿细杆上下拨动，分为11档，档中横梁上2珠，每珠为5，梁下5珠，每珠为1，其中断了一小档2颗珠子，余下共有75颗。

算盘四周内壁施釉不及底，外壁饰青花婴戏纹，孩童肥脸矮身，生动活泼，形象逼真，栩栩如生，算珠施白釉，泛青，底部内外都露胎，不施釉，胎质粗糙。器身有几处裂纹，已修复过。

此件文物青花色泽淡雅[15]，釉面光亮莹润，胎色白中闪黄，有明显火石红斑，胎质坚实，胎体厚重，为研究清代景德镇青花瓷制作工艺提供了实物见证。其算盘形制，也是研究中国古代传统计算工具的实物见证，对于研究古代的科技发展水平具有重要的历史意义。

1996年，IBM科学家用10个原子生成了世界上最小的算盘。

3.4.5 传播

算盘制作简单、价格便宜，珠算口诀便于记忆、运算简便，在中国被普遍使用。后来陆续流传到了日本、朝鲜、美国、印度、东南亚等国家和地区，对世界文明做出了重要贡献。当今电子计算机时代，但古老的算盘仍然发挥着一定作用。在中国，各行各业都有一批打算盘的高手。使用算盘和珠算，除了运算方便以外，还有锻炼思维能力的作用，因为打算盘需要脑、眼、手的密切配合，是锻炼大脑的一种好方法。

3.4.6 申遗

巴黎10月31号，联合国教科文组织宣布，“非遗”保护政府间委员会第八次会议将于12月2至7号在阿塞拜疆的巴库市举行，包括中国珠算在内的23个项目列入该组织“非遗”备选目录。同时成为备选项目的，还有韩国泡菜、日本和食等。这些备选项目基本上是能够通过的。[7]最终，阿塞拜疆首都巴库获得通过，珠算正式成为人类非物质文化遗产，也是我国第30项被列为非遗的项目。[8]

3.4.7 收藏价值

一、高档材质的算盘值得收藏。据国家文化艺术品网介绍，按算珠和边框材料，算盘可分为金、银、铜、铁、玉、竹、木、象牙、水晶、大理石等[9];按立柱材料，包括铁、木、银、铜、铝、竹等。算盘材质越好，收藏价值越高，升值潜力自然就强。举例来说，普通木质算盘的身价低于象牙算盘，而贵金属制成的算盘，价值就更高了。[10]另外，算盘上的立柱，即俗称的“档”，也有高低之分。算盘的价值还可以通过做工和品相来衡量。

二、上乘木质算盘升值前景好。国家文化艺术品网讯，如果收藏木质算盘，紫檀、红木、花梨木的藏品为上乘。上乘木质的算盘不会上油漆，因为木质好的算盘更注重原色，经过岁月的洗礼，好的木头会越用越亮，算珠也会越来越光滑。只有一般材质的木算盘，才会涂上厚重的油漆以遮盖木质的平庸。梨木、松木、沉香木、柏木属于中等材质，杂木则属于低档材质。

三、异形算盘身价逐渐走高。圆形、扇形、拱形、筒形、宝塔等造型奇特的算盘，因为工艺考究、妙趣横生，是收藏家追捧和寻觅的对象。由于算盘的档数通常都是奇数档，例如九、十一、十三、十五、十七等，带有赏玩性质的偶数档算盘的身价就比奇数档的高。而小巧玲珑的袖珍算盘以及21档以上的大型算盘，无疑丰富了算盘的文化内涵，也值得收藏。[8]

3.5 口诀(▪加法口诀▪减法口诀▪乘法口诀▪除法口诀▪开乘方)

3.5.1 加法口诀

不进位的加进位的加

直加满五加进十加破五进十加

加一：一上一，一下五去四，一去九进一

加二：二上二，二下五去三，二去八进一

加三：三上三，三下五去二，三去七进一

加四：四上四，四下五去一，四去六进一

加五：五上五，五去五进一

加六：六上六，六去四进一，六上一去五进一

加七：七上七，七去三进一，七上二去五进一

加八：八上八，八去二进一，八上三去五进一

加九：九上九，九去一进一，九上四去五进一

3.5.2 减法口诀

不退位的减退位的减

直减破五减退位减退十补五的减

减一：一下一，一上四去五，一退一还九

减二：二下二，二上三去五，二退一还八

减三：三下三，三上二去五，三退一还七

减四：四下四，四上一去五，四退一还六

减五：五下五，五退一还五

减六：六下六，六退一还四，六退一还五去一

减七：七下七，七退一还三，七退一还五去二

减八：八下八，八退一还二，八退一还五去三

减九：九下九，九退一还一，九退一还五去四

3.5.3 乘法口诀

在春秋战国时已在筹算中得到应用；

一、归除口诀，首见杨辉《乘除通变算宝》(1274)，

二、朱世杰《算学启蒙》[1299]所载九归口诀已与现代基本相同。

有了四则口诀，珠算的算法就形成一个体系，长期沿用下来。

三、大九九口诀表

一一01一二02一三03一四04一五05一六06一七07一八08一九09

二一02二二04二三06二四08二五10二六12二七14二八16二九18

三一03三二06三三09三四12三五15三六18三七21三八24三九27

四一04四二08四三12四四16四五20四六24四七28四八32四九36

五一05五二10五三15五四20五五25五六30五七35五八40五九45

六一06六二12六三18六四24六五30六六36六七42六八48六九54

七一07七二14七三21七四28七五35七六42七七49七八56七九63

八一08八二16八三24八四32八五40八六48八七56八八64八九72

九一09九二18九三27九四36九五45九六54九七63九八72九九81

3.5.4 除法口诀

珠算除法有归除法和商除法两种。

归除法用口诀进行计算，有九归口诀、退商口诀和商九口诀。

九归口诀共61句：

一归(用1除)：逢一进一，逢二进二，逢三进三，逢四进四，逢五进五，逢六进六，逢七进七，逢八进八，逢九进九.

二归(用2除)：逢二进一，逢四进二，逢六进三，逢八进四，二一添作五.

三归(用3除)：逢三进一，逢六进二，逢九进三，三一三余一，三二六余二.

四归(用4除)：逢四进一，逢八进二，四二添作五，四一二余二，四三七余二.

五归(用5除)：逢五进一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八.

六归(用6除)：逢六进一，逢十二进二，六三添作五，六一下加四，六二三余二，六四六余四，六五八余二.

七归(用7除)：逢七进一，逢十四进二，七一下加三，七二下加六，七三四余二，七四五余五，七五七余一，七六八余四.

八归(用8除)：逢八进一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六余二，八六七余四，八七八余六.

九归(用9除)：逢九进一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八.

朱世杰《算学启蒙》(1299)卷上“归除歌诀”...

一归如一进见一进成十

二一添作五逢二进成十四进二十六进三十八进四十

三一三十一三二六十二逢三进成十六进二十九进三十

四一二十二四二添作五四三七十二逢四进成十八进二十

五归添一倍逢五进成十

六一下加四六二三十二六三添作五六四六十四六五八十二逢六进成十

七一下加三七二下加六七三四十二七四五十五七五七十一七六八十四逢七进成十

八一下加二八二下加四八三下加六八四添作五八五六十二八六七十四八七八十六逢八进成十

九归随身下逢九进成十

南宋数学家杨辉在他的“日用算法”(1262年)中编造了斤价求两价的歌诀

元朝伟大数学家朱世杰的“算学启蒙”(1299年)书中，更被推进成下列的十五句：

一求，隔位六二五；(1/16=0.0625)

二求，退位一二五；(2/16=0.125)

三求，一八七五记；(3/16=0.1875)

四求，改曰二十五；(4/16=0.25)

五求，三一二五是；(5/16=0.3125)

六求，两价三七五；(6/16=0.375)

七求，四三七五置；(7/16=0.4375)

八求，转身变作五；(8/16=0.5)

九求，五六二五；(9/16=0.5625)

十求，六二五；(10/16=0.625)

11求，六八七五；(11/16=0.6875)

12求，七五；(12/16=0.75)

13求，八一二五；(13/16=0.8125)

14求，八七五；(14/16=0.875)

15求，九三七五；(15/16=0.9375)

退商口诀共9句：

无除退一下还一，无除退一下还二，无除退一下还三，

无除退一下还四，无除退一下还五，无除退一下还六，

无除退一下还七，无除退一下还八，无除退一下还九，

商九(又叫撞归，是除以以9开头的数，商用大了，退商的时候用的)口诀共9句：

见一无除作九一，见二无除作九二，见三无除作九三，

见四无除作九四，见五无除作九五，见六无除作九六，

见七无除作九七，见八无除作九八，见九无除作九九。

除数是一位数的除法叫“单归”；除数是两位或两位以上的除法叫“归除”，除数的首位叫“归”，以下各位叫“除”。如，除数是534的归除，叫“五归三四除”.即用五归口诀求商后，再用34除。

3.5.5 开乘方

珠算乘方可以直接乘，也可以根据公式，高次方若幂是质素，就只有直接乘，若可以分解因式，则可分解因式再来算。

珠算开平方，一般有半九九开平方法，积差开平方法，公式开平方法，增乘开平方法。

开三次方，有三倍根开立方法，过大商开立方法。

开五次方，有多种，常见的有增乘开五次方。

开高次方一般很少在珠算上用。[9]

3.6 相关术语

空档：某一档的上、下都离梁的时候，叫做空档。空档表示这一档没有记数，或者表示0。

空盘：算盘的各档都是空档是，表示全盘没有记数，叫做空盘。

内珠：靠梁记数的算珠，叫做内珠。

外珠：离梁不记数的算珠，叫做外珠。

拨上：是指将下珠拨靠梁。

拨下：是指将上珠拨靠梁。

拨去：是指将上珠或下珠拨离梁。

本档：是指正要拨珠记数的这一档。

前档：是指本档的前一档，也叫左一档(位)。

后档：是指本档的后一档，也叫右一档(位)。

漂珠：拨珠时用力过轻，不靠梁不着框，浮漂在档中间的算珠。

带珠：拨珠时，把本档或邻档不应拨入或拨去的算珠带入或带出叫带珠。

实珠：靠梁表示正数的算珠。

虚珠：也叫负珠，是指算珠拨到既不靠梁又不靠框，表示负数的悬珠。

置数：也教布数，按照计算的要求，把数字拨入算盘，为计算作准备。

档位：也叫档次，是指档的位次。

错档：也叫错位，是指运算过程中未将算珠拨入应拨的档位。

隔档：也叫隔位，是指本数位左右空一档的第二档(位)。入隔位乘法中两数相乘，积的个位打在被乘数的右两位上；隔位除法中隔位商几，指的是被除数首位的左两位。

进位：是指本档加上一个数后，大于或等于10，须向前位加1，叫做进位。

退位：是指在本档减去一个数时本档不够，许向前面一位减1，叫做退位。

首位：也叫最高位，是指一个多位数的第一个非零数字为首位。如3284中的3，0.0726中的7。

末位：也叫最低位，是指一个多位数的最后一个数字。如3275中的5，一二○中的0，481.29中的9。

次位：实质一个多位数的第二个数字。入3865中的8，0.4178中的1。

实数：古算书中通称被乘数和被除数为实数，简称实。

法数：古算书中通称乘数和除数为法数，简称法。

乘加：是指被乘数每位乘以乘数各位，在算盘上一边乘一边加积数。

乘减：也叫减积，是指每位商数同除数相乘，乘积在被除数里减去。

除首：是指除数的最高位数。

积首：是指积数的首位数。

商首：是指商数的首位数。

估商：在除法中，需求得每一个商数，就要用心算，估出被除数是除数的几倍，这种心算过程叫做估商。

试商：也叫初商，是指在估商时初步求得偏大或偏小的商数，叫做试商。

置商：也叫立商，是指把试商拨入算盘。

调商：置商后，经乘减证明，试商不正确，需要调整初商。

确商：置商后，经乘减证明，试商不大也不小。

除尽：是指被除数除以除数，除到某一位，刚好无余数，叫做除尽。

除不尽：是指整除出现无穷循环或不循环小数时，不能除尽的除算。如：1÷3=0.333……

余数：不能整除的除法，在商数求到各位或预定的某数位时，被除数中减剩的数叫做余数。在运算过程中，往往被除数郊区每次商与除数的乘积都有剩余的数，通常也叫做余数。

退商：初商过大，把它改小叫“退商”。

补商：初商过小，把它改大叫“补商”。

假商：在除法运算中，为了计算便捷，先确立一个商，再经过调整取得确商。先确立的商，叫做假商。

清盘：拨去各档靠梁的算珠，使全盘成为空盘，叫做清盘。

全盘练习：算盘所有档上，或大部分档上作拨珠练习，以及按基本运算法则进行全面练习，叫全盘练习。[10]

3.7 相关传说

黄帝时代有没有算账先生，或者说，有没有能打会算的“会计”？当今人不得知晓。

传说，算盘和算数是黄帝手下一名叫隶首的人发明创造的。至今在农村还流传着隶首当初算账时，发明的中国式的“阿拉伯”字母。80岁以上的年老人还会写、会用。这十个字母的写法：〡、〢、〣、〤、〥、〦、〧、〨、〩、十。比如三斤八两的写法“〣〨”二斗四升写法是“‖〤”十八丈布写法“十〨”；三尺四寸木材写法“〣〤”。

黄帝统一部落后，先民们整天打鱼狩猎，制衣冠，造舟车，生产蒸蒸日上。物质越来越多，算帐、管帐成为每家每户每个人经常碰到的事。开始，只好用结绳记事，刻木为号的办法，处理日常算帐问题。有一次，狩猎能手于则，交回7只山羊，保管猎物的石头只承认交回1只，于则一查实物，正好还是7只。为啥只记1只呢？原来石头把七听成1，在草绳上只打了一个结。又有一次，黄帝的孙女黑英替嫘祖领到9张虎皮，石头在草绳上只打了6个结，短少了3张。所以出出进进的实物数目越来越乱，虚报冒领的事也经常发生。黄帝为此事大为恼火。

有一天，黄帝宫里的隶首上山采野果，发现一树熟透的山桃。他爬上树边摘边吃，不知吃了多少，只觉得口流酸水，肚内发胀，再没敢多吃，跳下树来，坐在地上休息。

突然发现扔在地上的山桃核非常好看。他一个一个从地上拣起来，一数个，正好20个。他想：这十个桃核好比10张虎皮，另十个好比10只山羊皮。今后，谁交回多少猎物，就发给他们多少山桃核。谁领走多少猎物，就给谁记几个山桃核。这样谁也别想赖帐。隶首回到黄帝宫里，把他的想法告诉给黄帝。黄帝想了想觉得很有道理。就命隶首管理宫里的一切财物账目。隶首担任了黄帝宫里总“会计”后，他命人采集了各种野果，分开类别。比如，山渣果代表山羊；栗子果代表野猪；山桃果代表飞禽；木瓜果代表老虎、豹子……不论哪个狩猎队捕回什么猎物，隶首都按不同野果记下帐。谁料，好景不长。各种野果存放时间一长，全都变色腐烂了，一时分不清各种野果颜色，账目全混乱了。为这事隶首气的直跺脚。最后，他终于想出一种办法。他到河滩拣回很多不同颜色的石头片，分别放进陶瓷盘子里。这下记账再也不怕变色腐烂了。由于隶首一时高兴没有严格保管。有一天，他出外有事，他的孩子引来一群玩童，一见隶首家放着很多盘盘，里边放着不同颜色的美丽石片，孩子们觉得好奇，你争我看一不小心，盘子掉地打碎，石头片全散了。隶首的账目又乱了。他一人蹲在地上只得一个个往回拾。隶首妻子花女走过来，用指头把隶首头一指说：“好笨蛋哩！你给石片上穿一个眼，用绳子串起来多保险！”聪明人就怕人点窍。隶首顿时茅塞大开，他给每块不同颜色石片都打上眼，用细绳逐个穿起来。每穿够十个数或100个数，中间穿一个不同颜色的石片。这样清算起来就省事多了。隶首自己也经常心中有数。从此，宫里宫外，上上下下，再没有发生虚报冒领的事了。随着生产不断向前发展，获得的各种猎物、皮张、数字越来越大，品种越来越多，不能老用穿石片来记账目。隶首好像再也想不出什么好办法了。有一次，他上山寻孩子，发现满山遍野成熟红欧粟子。每株上边只结十颗，全部鲜红色的，非常好看。他顺手折了几枝，拿在手里左看右看；又想利用红欧粟子作算帐的工具，但又一想，不行，过去已经失败过。隶首独自一人坐在地上，越想越没主意了。这时，岐伯、风后、力牧三个人上山采草药，发现隶首手里几串红欧粟子。人坐在地上发呆。风后问隶首在想什么？隶首扭头一看，原是三位老臣，赶忙站起来，把刚才记账，算帐的想法告诉了三位老臣。风后是指南车创始人之一。他听了隶首的想法，接过隶首的话说：“我看今后记账，算帐不再用那么多的石片。只用100个石片，就可顶十万八千数。”隶首忙问：“怎么个顶法？”风后叫隶首把红欧粟全摘下来，又折回下十根细竹棒，每根棒上穿上十颗，一连穿了十串，一并插在地上。风后说：“比如，今天猎队交回5只鹿，你就从竹棒上往上推5颗红欧粟子。明天再交回6只鹿，你就再往上推6颗。”隶首说：“那不行！一根棒上只穿十颗，已经推上去5颗，再要往上推6个，那就没有红欧粟子可推了。”风后说：“我问你，5个加6个是多少？”隶首说：“当然是11个！”风后说：“对呀！你就该向前进一位。从颗数上看，只有两个。实际上是11个数。再有，如果猎队交回九只鹿，那你怎么记算？再进一位；9个加11个是多少？当然是20个。从竹棒上的颗数看；只有两颗红欧粟子，实际上顶20个数。就是说，每够十个数，每够100个数，都要向前进一位。比如，再有猎队交回80只鹿，那么怎么记算法？20加80，整100数，再进位，竹棒子颗数就成为一个红欧粟子。实际上它顶100个数。”隶首又问：“进位后，怎么能记得下！”力牧接着说：“这好办，进位后，应划个记号。比如，十个数后边划个圈(10)；100个数后边划两个圈(100)；1000个数后边划三个圈(1000)；10000个数后边划四个圈(10000)。这就叫个、十、百、千、万。隶首明白了进位道理后，信心百倍增加。回家作了一个大泥盘子，把人们从龟肚子挖出来白色珍珠拣回来，给每颗上边打成眼。每10颗一穿，穿成100个数的“算盘”。然后在上边写清位数；如十位、百位、千位、万位。从此，记数、算帐再也用不着那么多的石片了。算盘，中华民族当代“计算机”前身，5000年前就这样诞生了。随着时代不断前进，算盘不断得到改进，成为今天的“珠算”。特别是民间，当初认字人不多，但是，只要懂得了算盘的基本原理，和操作规程，人人都会应用。

所以，算盘在古老中国民间很快广泛流传和被应用。[9]

3.8 嫁妆用品

自古以来，算盘都是用来算账的，正因为此，算盘被当做象征富贵的吉祥物，为人们推崇。在民间，常会听到“金算盘”、“铁算盘”之类的比喻，形容的也多是“算进不算出”的精明。

古代小孩挂在脖子上驱凶辟邪的百眼筛上，也有算盘。除此之外，算盘还作为警醒新娘学会“精打细算”的陪嫁，出现在嫁妆“六证”中，以祝福新人婚姻生活富足安宁，赢得广茂财源。

陪嫁算盘有着招财进宝的寓意，可以放在新房或者书房，若是小型挂件的话还可以随身携带，以帮忙您财源广进。若放房间最好的风水放法便是：挂在门上、窗上或者书架上，这样可以助你们婚姻生活富足安宁，还可以帮你们化煞化小人。[10]

(注2：科普中国致力于权威的科学传播，本词条认证专家：胡启洲(南京理工大学副教授)审核，权威合作编辑：“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目。2017-05-27阅读2692。词条标签：科学百科数理科学分类，文物考古，文化，历史。词条统计：浏览1271424次，编辑111次历史版本，最近更新：w_ou(2018-09-21)，突出贡献榜：袋鼠康康。[11] )

—END—

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参考文献(2132字)

1. 科普中国，责任编辑:孙晓倩．说说算筹：最原始的计算器．[EB/OL]；中国科学技术协会，http://www.xinhuanet.com/science/2015-09/02/c_134579944.htm，2015-09-02．

2. 中国论文网>教育论文>作者：本刊编辑部．算盘——流传至今的原始计算器．[EB/OL]；论文网，https://www.xzbu.com/9/view-3884473.htm，访问日期：2018-11-20．

3. 来源：互联网．葫芦工坊设计制作全球首款葫芦算盘．[EB/OL]；大众网，http://tour.dzwww.com/shandong/mxly/201608/t20160818_14795216.htm，2016-08-18，引用日期：2017-08-06．

4. 资料．算盘(算盤)．[EB/OL]；汉典，http://www.zdic.net/c/7/28/60443.htm，引用日期：2015-01-04．

5. 易啊教育网．suanpan．[EB/OL]；易啊教育网，http://www.yiaedu.com/content/ft5gMtZLM5yKAe0d.html，引用日期：2017-08-06．

6. 华夏收藏网．算盘基本知识了解之分类．[EB/OL]；华夏收藏网，http://news.cang.com/info/288209.html，引用日期：2017-08-06．

7. 腾讯．中国算盘咋能成联合国“非遗”项目？．[EB/OL]；腾讯，http://rushidao.qq.com/a/20131105/016179.htm，引用日期：2013-11-13

8. 国家文化艺术品网．瓷器算盘．[EB/OL]；国家文化艺术品网，http://www.cnartn.org/19/2015-02-06/5545.html，2015-02-06，引用日期：2015-04-17．

9. 国家文化艺术品网网．瓷器算盘．[EB/OL]；国家文化艺术品网，http://www.cnartn.org/19/2015-02-06/5545.html，2015-02-06，引用日期：2015-07-29．

10. 国家文化市场调查评估中心．判定算盘收藏价值的三招．[EB/OL]；国家文化市场调查评估中心，http://www.cmsacc.org/yishujiangtang/24078.html，2015-02-09，引用日期：2015-03-19．

11. 最近更新：w_ou(2018-09-21)．算盘[suàn pán]．[EB/OL]；百度百科，https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%97%E7%9B%98，2018-09-21．

12. 文章来源：现代快报，责任编辑：闫昕霞．古希腊青铜机械装置堪称世界最早计算机(图)．[EB/OL]；中国网，http://www.china.com.cn/culture/txt/2006-12/01/content_7436610.htm，2006-12-01，引用日期：2017-07-28．

13. 最近更新：w_ou(2018-08-14)．安提凯希拉装置．[EB/OL]；百度百科，https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%89%E6%8F%90%E5%87%AF%E5%B8%8C%E6%8B%89%E8%A3%85%E7%BD%AE/10835546，2018-08-14．

14. kkkkkk的故事(2012-07-13)．契克卡德．[EB/OL]；https://baike.baidu.com/item/%E5%A5%91%E5%85%8B%E5%8D%A1%E5%BE%B7，2012-07-13，访问日期：2018-11-28．

15. boy，当前位置：论坛首页-机械-catia应用及设计制造．机械之美之契克卡德计算钟．[EB/OL]；贤集网，https://bbs.xianjichina.com/forum/details_57365，2017-06-26．

16. 懂得了．从彼方而来：“机械计算器”的简明进化史．[EB/OL]；百家号，https://baijiahao.baidu.com/s?id=1572320475821734，17-07-08．

17. 秦陇纪，计算机的数学思想源头(回复“计算机数学”可下载PDF典藏版)．[EB/OL]；数据简化DataSimp，https://mp.weixin.qq.com/s/JLGCOPN-OIyfyM5Rb0EKIw，2018-04-16．

x. 秦陇纪．数据简化社区Python官网Web框架概述；数据简化社区2018年全球数据库总结及18种主流数据库介绍；数据科学与大数据技术专业概论；人工智能研究现状及教育应用；信息社会的数据资源概论；纯文本数据溯源与简化之神经网络训练；大数据简化之技术体系．[EB/OL]；数据简化DataSimp(微信公众号)，http://www.datasimp.org，2017-06-06．

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计算机器前传：结绳、算筹、算盘等手动计算发展史(15700字)

秦陇纪

简介：计算机器前传：结绳、算筹、算盘等手动计算发展史。欢迎转发、赞赏、支持科普，公号回复“手动计算”文末“阅读原文”可下载19k字6图12页PDF资料。蓝色链接“科学Sciences”关注后下方菜单项有文章分类页。作者：秦陇纪。来源：维基百科/百度百科/数据简化社区/秦陇纪微信群聊公众号，引文出处附参考文献。主编译者：秦陇纪，数据简化DataSimp/科学Sciences/知识简化新媒体创立者，数据简化社区创始人OS架构师/C/Java/Python/Prolog程序员，IT教师。每天大量中英文阅读/设计开发调试/文章汇译编简化，时间精力人力有限，欢迎转发/赞赏/加入支持社区。版权声明：科普文章仅供学习研究，公开资料©版权归原作者，请勿用于商业非法目的。秦陇纪2018数据简化DataSimp综合汇译编，投稿合作、转载授权、侵权错误(包括原文错误)等请联系[email protected]沟通。欢迎转发：“数据简化DataSimp、科学Sciences、知识简化”新媒体聚集专业领域一线研究员；研究技术时也传播知识、专业视角解释和普及科学现象和原理，展现自然社会生活之科学面。秦陇纪发起，期待您参与各领域~~

计算机器前传：结绳、算筹、算盘等手动计算发展史(15700字)

目录

A计算机器前传：结绳、算筹、算盘等手动计算发展史(15470字)

一、手动计算器概述

二、算筹：最原始的计算器

三、算盘——流传至今的原始计算器

参考文献(2132字)

Appx.数据简化DataSimp社区简介(835字)

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Appx.数据简化DataSimp社区简介(835字)

信息社会之数据、信息、知识、理论持续累积，远超个人认知学习的时间、精力和能力。应对大数据时代的数据爆炸、信息爆炸、知识爆炸，解决之道重在数据简化(DataSimplification)：简化减少知识、媒体、社交数据，使信息、数据、知识越来越简单，符合人与设备的负荷。数据简化2018年会议(DS2018)聚焦数据简化技术(DataSimplificationTechniques)：对各类数据从采集、处理、存储、阅读、分析、逻辑、形式等方面做简化，应用于信息及数据系统、知识工程、各类数据库、物理空间表征、生物医学数据，数学统计、自然语言处理、机器学习技术、人工智能等领域。欢迎投稿数据科学技术、简化实例相关论文提交电子版(最好有PDF格式)。填写申请表加入数据简化DataSimp社区成员，应至少一篇数据智能、编程开发IT文章：①高质量原创或翻译美欧数据科技论文；②社区网站义工或完善S圈型黑白静态和三彩色动态社区LOGO图标。论文投稿、加入数据简化社区，详情访问www.datasimp.org社区网站，网站维护请投会员邮箱[email protected]。请关注公众号“数据简化DataSimp”留言，或加微信QinlongGEcai(备注：姓名/单位-职务/学校-专业/手机号)，免费加入投稿群或“科学Sciences学术文献”读者微信群等。长按下图“识别图中二维码”关注三个公众号(搜名称也行，关注后底部菜单有文章分类页链接)：

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