1003 Emergency (25 分)

一、题目

大意：n个城市以及他们之间的m条路构成了图，每个城市驻有大小不同的救援队，你所在的城市为c1，当c2发生险情时，你需要带领c1城市的救援队按最短路径赶往c2，所经过城市的救援队也会加入你们。输入：n（城市数），m（路数），c1（你所在城市），c2（需要救援的城市）；每个城市驻扎救援队数目；m条路的起点、终点、长度。输出：最短路径的数目以及在这些路径中所能集合的救援队最大数目。

二、分析

在Dijkstra中，当一个顶点v加入到最短路径集合S中时，需要更新c1到其余未加入S顶点的距离，这时有三种情况（用Length[i]表示从c1到i的最短路径长度，用Graph[v][i]表示从v直接到j而不经过中间点的距离，RoadNum[i]表示从c1到i的最短路径数目，MaxRanks[i]表示在从c1到i的最短路径中能集合的最大救援队数目）：
①、Length[i] ②、Length[i]=Length[v]+Graph[v][i]，注意Length[i]此时还未更新，也就是说Length[i]表示的是在v还未加入S时，c1以S中某些点为中间点到i的距离，这条路径是不经过v的；而Length[v]+Graph[v][i]表示c1经过v到i的一条（或多条）路的长度，所以这两条（或多条）路是不会重合的。这个时候，从c1到i的最短路就是从c1不经过v到i的路（RoadNum[i])+经过v的路(RoadNum[v])；救援队数目选这些路里边最大的那个。
RoadNum[j]+=RoadNum[v];
MaxRanks[j]=(MaxRanks[v]+Weight[j])>MaxRanks[j]?
(MaxRanks[v]+Weight[j]):MaxRanks[j];
③、Length[i]>Length[v]+Graph[v][i]，这时候最短路径就是Length[v]+Graph[v][i]了，需要更新Length[i]。从c1到i就是从c1到v到i。
Length[j]=Length[v]+Graph[v][j]; MaxRanks[j]=MaxRanks[v]+Weight[j];
RoadNum[j]=RoadNum[v];

三、代码

#include 
#include 
using namespace std;
#define Maxnum 505
#define Infinity 1e8
int Graph[Maxnum][Maxnum];//两点之间边长
int Length[Maxnum];//从c1到i的长度
int MaxRanks[Maxnum];//从c1到i的救援队最大数
int RoadNum[Maxnum];//从c1到i的最短路径数
int Weight[Maxnum];//开始时顶点i处救援队数
bool Final[Maxnum];//用于Dijkstra算法标记顶点已加入最短路径集合
void Dijkstra(int n)
{
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int min=Infinity;
        int v=-1;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if(!Final[j]&&Length[j]<min){
                v=j;min=Length[j];
            }
        }
        if(v==-1)break;
        else
            Final[v]=true;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if(!Final[j]&&(Length[j]==Length[v]+Graph[v][j])){
            //在Dijkstra基础上增加的
                RoadNum[j]+=RoadNum[v];
                MaxRanks[j]=(MaxRanks[v]+Weight[j])>MaxRanks[j]?
                        (MaxRanks[v]+Weight[j]):MaxRanks[j];
            }
            else if(!Final[j]&&((Length[j]>Length[v]+Graph[v][j]))){
                Length[j]=Length[v]+Graph[v][j];
                MaxRanks[j]=MaxRanks[v]+Weight[j];
                RoadNum[j]=RoadNum[v];
            }
        }
    }
}
int main(){
    fill(Graph[0],Graph[0]+Maxnum*Maxnum,Infinity);
    fill(Length,Length+Maxnum,Infinity);
    fill(MaxRanks,MaxRanks+Maxnum,0);
    fill(RoadNum,RoadNum+Maxnum,0);
    memset(Final, false, sizeof(Final));
    int n,m,c1,c2;
    cin>>n>>m>>c1>>c2;
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin>>Weight[i];
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int row,col,dist;
        cin>>row>>col>>dist;
        Graph[row][col]=Graph[col][row]=dist;
    }
    Length[c1]=0;
    MaxRanks[c1]=Weight[c1];
    RoadNum[c1]=1;//c1到c1有一条路
    Dijkstra(n);
    cout<<RoadNum[c2]<<" "<<MaxRanks[c2];
    return 0;
}

二刷：用dijkstra+dfs做

#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 510;
const int inf = 0x3fffffff;
int graph[maxn][maxn], dis[maxn], weight[maxn], mark[maxn], n, m, start, end1, cnt = 0, maxW = 0;
vector<vector<int>>pre;
vector<int>temp;
void dijkstra(int start) {
	dis[start] = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		int pos = -1, min = inf;
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			if (mark[j] == 0 && dis[j] < min) {
				min = dis[j];
				pos = j;
			}
		}
		if (pos == -1)return;
		mark[pos] = 1;
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			if (mark[j] == 0) {
				if (graph[pos][j] + dis[pos] < dis[j]) {
					pre[j].clear();
					pre[j].push_back(pos);
					dis[j] = dis[pos] + graph[pos][j];
				}
				else if (graph[pos][j] + dis[pos] == dis[j])
					pre[j].push_back(pos);
			}
		}
	}
}
void dfs(int e) {
	if (e == start) {
		temp.push_back(e);
		cnt++;
		int sumW = 0;
		for (int i = 0; i < temp.size(); i++)sumW += weight[temp[i]];
		maxW = (maxW > sumW) ? maxW : sumW;
		temp.pop_back();
		return;
	}
	temp.push_back(e);
	for (int i = 0; i < pre[e].size(); i++)dfs(pre[e][i]);
	temp.pop_back();
}
int main() {
	cin >> n >> m >> start >> end1;
	pre.resize(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		dis[i] = inf;
		mark[i] = 0;
		for (int j = 0; j < n; j++) graph[i][j] = inf;
	}
	for (int i = 0; i < n; i++)cin >> weight[i];
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		int x, y, l;
		cin >> x >> y >> l;
		graph[x][y] = graph[y][x] = l;
	}
	dijkstra(start);
	dfs(end1);
	cout << cnt << " " << maxW << endl;
	return 0;
}