海伦公式——初中数学证明

如图：
$AD垂直于BC，设BC=x,DC=y,AD=h,AB=c,BC=a,AC=b$
根据勾股定理得：
$x=a-y$
$h^2=b^2-y^2$
$h^2=c^2-x^2$
$\therefore \{\begin{array}{ll}& x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\\ & y=\frac{a^2-c^2+b^2}{2a}\end{array}$
$\begin{array}{rl}\therefore h& =\sqrt{b^2-y^2}\\ & =\sqrt{b^2-\frac{(a^2{c}^2+b^2){}^2}{4a^2}}\\ & =\frac{\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2{c}^2+b^2){}^2}}{2a}\end{array}$
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}a\times \frac{\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2-c^2+b^2){}^2}}{2a}=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2-c^2+b^2){}^2}$
化简即为海伦公式。
证毕