树状数组理论阐述及几道经典例题讲解

1、lowbit操作

• 函数功能：求某一个数的二进制表示中最低的一位1。举个例子，x = 12，它的二进制为1100，那么lowbit(x)就返回4，因为最后一位1表示4。
• 算法实现：先用x&(x-1)消除最后一位1，再用原数x减去消除最后一位1后的数，即得答案。若学过计算机组成原理，也可用x&(-x)，即x按位与自身补码，也可以得到。
• 举例说明：比如12，二进制为1100，x-x&(x-1)=1100-1100&(1100-1)=1100-1100&1011=1100-1000=100，即4；x&(-x)=1100&(0011+1)=1100&0100=100,也是4。一般lowbit就这两种实现方法。

int lowbit(int x)
{
    return x - (x&(x-1)); // x&(-x)
}

2、在第i个数上加value

// 在第i个数上加上value
void add(int i, int value)
{
    while (i<= N)
    {
        c[i] += value;
        i += lowbit(i);
    }
}

• 如上图，要在结点3上加上value，则首先在3上+value，3的二进制为11，lowbit(3)+3 = 1+11=100,即需要在结点4上+value，4+lowbit(4) = 100+100=1000,即需要在8结点上+value，以此类推，直到n个结点为止。可以看出在某个节点上加上value不止需要维护该节点，还需维护其它结点。这个操作时间复杂度为O(logn)

求前i个元素和

// 取出前i个元素之和
int sum(int i)
{
    int sum = 0;
    while (i>0)
    {
        sum += c[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return sum;
}

• 也是这个图。从图中可以看出，假设我要求1到11元素和，那我只需要求1-8，9-10和11这三个区间元素和即可。11是1011，11-lowbit(11)=10, 10-lowbit(10)=8,跟踪这个程序正好是图中描述那样。
• 更新某个值和求某个区间值是一对逆向操作。
• 求区间[a,b]的和直接调用sum(b)-sum(a-1)即可。

例题实战

1、hdoj 1166

• C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
• 中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.

Input

• 第一行一个整数T，表示有T组数据。
• 每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
• 接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
  (1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
  (2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
  (3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
  (4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
  每组数据最多有40000条命令

Output

• 对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
• 对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

Sample Input
1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End

Sample Output
Case 1:
6
33
59

#include 
using namespace std;

const int maxn = 50005;
int N, c[maxn];

int lowbit(int x)
{
    return x - (x&(x-1)); // x&(-x)
}

// 在第i个数上加上value
void add(int i, int value)
{
    while (i<= N)
    {
        c[i] += value;
        i += lowbit(i);
    }
}

// 取出前i个元素之和
int sum(int i)
{
    int sum = 0;
    while (i>0)
    {
        sum += c[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return sum;
}

int main()
{
    int t, Case = 0;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        printf("Case %d:\n", ++Case);
        scanf("%d", &N);
        memset(c, 0, sizeof(c));
        int t;
        for (int i = 1; i <= N; ++i) {
            scanf("%d", &t);
            add(i, t);
        }
        char command[15];
        int x, y;
        while (~scanf("%s", command) && command[0]!='E')
        {
            scanf("%d%d", &x, &y);
            if (command[0] == 'Q')
            {
                int res = sum(y)-sum(x-1);
                cout << res << endl;
            }
            else if(command[0] == 'A')
            {
                add(x, y);
            }
            else add(x, -y);
        }
    }
    return 0;
}

2、hdoj 1556

• N个气球排成一排，从左到右依次编号为1,2,3…N.每次给定2个整数a b(a <= b),lele便为骑上他的“小飞鸽"牌电动车从气球a开始到气球b依次给每个气球涂一次颜色。但是N次以后lele已经忘记了第I个气球已经涂过几次颜色了，你能帮他算出每个气球被涂过几次颜色吗？

Input

• 每个测试实例第一行为一个整数N,(N <= 100000).接下来的N行，每行包括2个整数a b(1 <= a <= b <= N)。 当N = 0，输入结束。

Output

• 每个测试实例输出一行，包括N个整数，第I个数代表第I个气球总共被涂色的次数。

Sample Input
3
1 1
2 2
3 3
3
1 1
1 2
1 3
0

Sample Output
1 1 1
3 2 1

#include 
using namespace std;

int N;
const int maxn = 100005;
int c[maxn];

int lowbit(int i)
{
    return i&(-i);
}
void add(int i, int value)
{
    while (i<=N)
    {
        c[i] += value;
        i += lowbit(i);
    }
}
int sum(int i)
{
    int sum = 0;
    while(i>0)
    {
        sum += c[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return sum;
}

int main()
{
    while (scanf("%d", &N) && N!=0) {
        int a, b;
        memset(c, 0, sizeof(c));
        for (int i = 1; i <= N; ++i) {
            cin >> a >> b;
            add(a, 1);  // 将[a,N]区间全加1
            add(b + 1, -1); // 将[b+1, N]区间全减一
            // 这样就实现了区间[a,b]上的涂色
        }
        for (int i = 1; i <= N; ++i) {
            cout << sum(i) << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

3、最后一题来源于csp2017年9月份认证题：除法

问题描述

• 小葱喜欢除法，所以他给了你N个数a1, a2, ⋯, aN，并且希望你执行M次操作，每次操作可能有以下两种：
• 给你三个数l, r, v，你需要将al, al+1, ⋯, ar之间所有v的倍数除以v。
• 给你两个数l, r，你需要回答al + al+1 + ⋯ + ar的值是多少。

输入格式

• 第一行两个整数N, M，代表数的个数和操作的次数。
• 接下来一行N个整数，代表N个数一开始的值。

输出格式

• 对于每一次的第二种操作，输出一行代表这次操作所询问的值。

样例输入
5 3
1 2 3 4 5
2 1 5
1 1 3 2
2 1 5

样例输出
15
14

评测用例规模与约定

• 对于30%的评测用例，1 ≤ N, M ≤ 1000；
• 对于另外20%的评测用例，第一种操作中一定有l = r；
• 对于另外20%的评测用例，第一种操作中一定有l = 1 , r = N；
• 对于100%的评测用例，1 ≤ N, M ≤ 105，0 ≤ a1, a2, ⋯, aN ≤ 106, 1 ≤ v ≤ 106, 1 ≤ l ≤ r ≤ N。

#include 
using namespace std;

const int maxn = 100005;
int N;
int a[maxn]; // 存放原始数据
long long c[maxn]; // 存放树状数组

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

void add(int i, int value)
{
    while (i<=N)
    {
        c[i] += value;
        i += lowbit(i);
    }
}

long long sum(int i)
{
    long long sum = 0;
    while (i>0)
    {
        sum += c[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return sum;
}

int main()
{
    int M;
    cin >> N >> M;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        cin >> a[i];
        add(i, a[i]);
    }

    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        int opt, l, r, v;
        cin >> opt >> l >> r;

        if (opt==2)
        {
            cout << sum(r)-sum(l-1) << endl;
        }
        else
        {
            cin >> v;
            if (v==1) continue;  // 不处理除以1这种情况会超时
            for (int j = l; j <= r; ++j)
            {
                if (a[j]>=v && a[j]%v==0) // 不加上a[j]>v会超时
                {
                    add(j, -(a[j]-a[j]/v)); // 用加法代替除法a[j]/v = a[j]-(a[j]-a[j]/v)
                    a[j] = a[j]/v;
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}