qwq

可优化dp：转移、状态都是一维的

优化思路：单调栈、单调队列、数据结构、斜率优化

T1:
无限制：C(x+y-1,x)
不可行：C(x+y-1,x-1)

目标，顺序，剪枝

树状数组：
O(logn):单点修改、求前缀和、区间修改、区间求和

堆：
快速插入删除、查询最大最小

并查集：
代表元、优化：路径压缩+按秩合并O(n*alpha(n))+启发式合并O(nlogn)+随机合并

SET:
有序集合(序列)+快速插入删除+区间求第k大

MAP:O(log)
开大数组
unordered_map:O(1)–>c++ 11

dfs序：
子树对应区间

区间减法：差分前缀和

bitset

区间修改->单点修改：差分

cdq分治：
前提条件：修改操作互不影响
etc：区间取最值：有影响 区间求和：相互独立

点事件+扫描线

Day 3题解：
按位%|^：每一位相互独立

一、存图：
1、邻接矩阵：O(1)查询、O(n^2)遍历
2、边表

二、最短路
1、Floyd 多源最短路O(n^3)
2、dijkstra O(n^2+m)
3、STL堆优化dij O((n+m)logm)
4、手写堆优化dij O((n+m)logn)
5、斐波那契堆优化dij O(nlogn)
6、spfa 最坏O(nm)

三、生成树
最小生成树：
{
prim O((n+m)logm)
kruskal O(mlogm) <–优先！
}
<注>考虑非树边替换树边
矩阵树定理Matrix Tree Theory：对于有n个点的完全图，有n^(n-2)棵生成树
非严格次小生成树：有且仅有一条边与最小生成树不同
{
求最小生成树，枚举删边，重新跑最小生成树：O(n*m)–>60分
枚举加一条边，删去环上最长边即求树链最长边 -->100分
}
【例题】货车运输+四川省选day1 t1
【例题】CF160D edge in mst
我们定义一条非树边所构成环上的所有树边被这条非树边覆盖
枚举每条非树边，与被其覆盖的最小边比较
如果相等，则两者都可能在，如果不等，则非树边一定不在，树边一定在
【例题】bzoj 2234
【例题】bzoj 2654
wqs+最小生成树
性质1：白边边权越大，在最小生成树中的白边越少
性质2：黑边与白边相对独立且白边关系不变
【例题】bzoj 3332 旧试题
四、强连通分量
有向图：强连通分量
无向图：点双连通分量(割点：删去一个点使图不连通)、边双(桥)
tarjan缩点–>DAG消灭环+topsort使得所有点有序(前指向后)+从左到右有序的dp

五、匹配
二分图匹配：(匹配：左与右连边)(在每一个点只匹配一个点的前提下求最多匹配)
{
匈牙利算法 复杂度上界：(邻接矩阵：O(n^3) 边表：O(n*m))
dinic
}
二分图模型：树(奇数深度连向偶数深度)、网格图(每个图连向周围四个点)
网络流：【例题】网络流24题+2009年胡伯涛论文<最小割模型在信息学竞赛中的应用>
费用流

六、最大团(最多的点两两有边)=补图的最大独立集(两两无边)
最小割最大流定理：最大独立集=左点+右点-最大团
{
一般图：NPC问题(n<=20)
特殊图(非NPC)：二分图
}
【例题】P2423朋友圈(好题)

Day 4 动态规划
用别人更新自己
for(int i=1;i<=n;i++)
f[i]=f[i-1]+a[i];
f[i][j]表示在i-j的最小次数

区间DP
状态：f[l][r]表示l-r的答案
转移：O(n)枚举l-n的松弛点,将l-r劈成两半，然后对两个小区间合并
<注>枚举区间长度！从小区间到长区间转移

树形DP
状态：f[i]存以i为根的子树的信息
转移：将子树的信息合并O(n)
f[i]=inf[i]+sigma(son[j])f[j];
<注>从深度深向浅转移

数位DP
从高位向低位填数
状态：f[i][j][k] 从高到低第i位，j.k为0/1变量,表示是否>=l.<=r
转移：枚举下一位填什么数()
状态：f[i][j] j表示<=某个数x
然后用前缀和统计答案
【例题】P2657 windy数

状压DP
用1个数表示某些数选了或没选的状态
状态:O(2^n)(n<=23)
<没法转移加一维>
<多一个限制加一维>
转移:
for(int i=0;i if(!(s>>i)&1)
f[(s|(1< TSP问题
O(n^2*2n)
基于连通性的状态压缩动态规划

插头DP
HDU Eat the tree

排列DP
排列问题一般需要排序
因为DP需要满足一定顺序
向一个排列中加一个数
【例题】codechef FEB14 LEmovie

【例题】数字三角形2
【例题】P3541
【例题】bzoj 2757
【例题】阿狸与桃子的游戏
【例题】bzoj

Day 5
Oeis做法:
a[n]=(n-1)(2(n^3-2*n2+n+1)a[n-1]/(n-2)+((n^2-2n+2)(n+1)a[n-2] +(2n^{2-6*n+1)*n*a[n-3]+(n-3)*(a[n-4]*(n}3-5n^2+3)-(n-4)(n-1)(n+1)a[n-5])))/(2n))
第n项的答案位数小于10n，高精度把n项的答案算出来，这个值对p取模。

正解:
得一行一行放
dp[i][][][][] 前i行棋子的状态是? ? ? ?，此时的方案总数
黑棋是每行每列放两个，白棋是每行每列放一个
一行一行枚举时，强制让每行放2黑的，1白的，只要考虑所有列符合条件就可以了。
一个列： 白 放 / 没放 黑 放1个/没放/放两个
dp[i][a][b][c][d][e][f] 表示前i行，0白0黑的列有a列，0白1黑的有b列，0白2黑的有c列，1白0黑…
a+b+c (0个白的列的个数) +d+e+f(放了1个白的列的个数) = n
对于第i+1行，枚举3个棋子放的状态，O(1)转移
O(n^7) -> O(n^6)
对于白棋，因为每行放一个，现在总共放了i行，所以肯定有i列放了白棋。
d+e+f=i。
O(n^6) -> O(n^5)
对于黑棋，每行放两个，所以有
b+e+2c+2f = 2*i
O(n^5) -> O(n^4) n=50

f[i][a][b][d] -> c,e,f是多少
枚举第i行怎么放的时候， 这3个棋子每个棋子都有6种可能， 6^3。
没有白棋，只有黑棋。 O(n)的做法 f[n]=(n-1)(f[n-1]+f[n-2])
n=2 f[2]=1 f[3]=6 f[4]=21.
f[n]表示一个nn的矩阵， 方案总数是多少。
f[n-1] f[n-2] -> f[n]
f[n]=C(n,2)*((n-1)f[n-2]+2f[n-1])

g[i][j] 表示 [i,j]取一段子区间，没有元素重复，使得子区间长度最长 n^2
g[i][j-1] g[i+1][j] [i,j]没有元素重复
for (i=n; i>=1; i–)
{
for (j=1; j<=n; j++) v[j]=false; FLAG=true;
for (j=i; j<=n; j++)
{
if (v[a[j]]) FLAG=false;
v[a[j]]=true;
if (FLAG) g[i][j]=j-i+1; else g[i][j]=max(g[i+1][j],g[i][j-1]);
}
}

先把所有符合条件的区间全部搞出来，由这些区间取扩展到g更大
[A,B]是合法的， 则 g[A][B]=B-A+1 g[l][r] l<=A r>=B 都有g[l][r]>=B-A+1 n^2

先枚举第一段区间的右端点r，当l=1时，求出所有×的位置，并求出第二段区间能取的最大长度。
随着l往右走，部分×被解锁，更新第二段区间的最大长度（并查集实现），然后更新答案。

f[i]表示在并查集树上的父亲，i的祖先就表示从i出发向右最近×的位置。

x这个位置被解锁了，getf(x+1)表示新增的区间右端点在哪里， 更新f呢，f[x]=getf(x+1);

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Day 6
看到奇偶数个1，想到^和等于1 or 0

Day 7
vector 查询、插入 O(n) 动态增减内存 O(size)
使用stl一定要注意数组越界和访问非法内存！
dequeue可实现单调队列
map 插入映射 O(logn) (n<=10w)
映射int：无限大数组
映射string 哈希！
map的迭代器按横坐标排序 O(nlogn)
set *a.end()返回末尾地址+1，需要 *–end()
集合从小到大排序 O(nlogn)
插入集合 O(logn) (n<=40w)
可利用指针找第k小 …++(++a.begin())
堆：O(log(n))插入、取最小
nth_element：O(n) 找序列第k小
reverse:区间翻转
random_shuffle:将数组随机洗牌
next_permutation:O(n)
binanry_search
swap交换两个数组的充要条件:数组长度相同

整理技巧

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二维树状数组、二维前缀和
树上差分
ST表
矩阵乘法：具有结合律+左右分配律、不具有交换律
逆序对
分数规划
master定理