MATLAB关于xcorr函数的用法

在做信号处理的时候，经常会对信号做自相关处理，比如对信号做功率估计，或者是参数拟合。在机器学习领域，如wule-walker方程也会遇到自相互函数的处理。

1  自相关矩阵的基本概念

     首先给出自相关函数的定义：

                              R(s,t)=E[(x(s)x(t))]

其中s,t是x(n)的不同时刻的信号值。

    在实际的应用当中，我们把测得的数据一般是随机信号，比如说要测每天的10点，14点，20点的天气温度，测了N天以后，我们计算要10点x1温度的自相关函数。那么该怎么计算？

    根据定义，我们需要知道x1和x2的概率密度f(x1，x2)，然后通过来求得x1和x2的自相关矩阵。显然，这个方法是行不通的。因为我们不知道f(x)的概率密度。但是我们又需要求出X1的自相关矩阵。

    第二种方法就是测量无数天的10点温度和12点温度，然后带入R(s,t)做平均。显然这个方法也是行不通。因为这个方法所需要的数据是无穷的。

    第三种方法就是假设每天10点和12点的温度是平稳随机过程。利用平稳随机过程的各态历经性，即时间平均收敛于集平均。

给出，其中k=s-t。n从0到N-1。

 

2  自相关矩阵的matlab实现

    在matlab中，实现自相关的函数是xcorr()。

2.1 xcorr()

    计算时先进行b的计算，用序列x中的元素的序号互相做减法，可以得到的所有值的可能集合，按照从小到大顺序排列后就得到了b；然后分别根据序号的“差”的情况计算序列a：
     当b(1)=-2时，只有数据(1, 5)作差可以得到，即序号1和序号3的差，因此计算a(1)=1*5=5；
     当b(2)=-1时，涉及到了序号对应的(3, 1)和序号(5, 3)，所以计算a(2)=3*1+5*3=18;
     当b(3)=0时，涉及到了序号对应的(1, 1), (3, 3)和(5, 5)，因此计算a(3)=1*1+3*3+5*5=35;
     当b(4)=1时，涉及到了序号对应的(3, 1)和(5, 3)，计算a(4)=3*1+5*3=18;

     当b(5)=2时，涉及到了序号对应的(5, 1)（后面的数据的序号减去前面数据的序号正好为2），计算a(5)=5*1=5

 

2.2 xcorr(x, 'unbiased')
     参数'unbiased'的作用在于基于缺省参数时的计算结果，每个组的计算再除上该组的序号组数，比如b(1)时组数为1，记为N=1，则a(1)=1*5/N=5；b(2)时就是a(2)=18/N=18/2=9;类似等等；
 

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1. >> [a, b] = xcorr(x, 'unbiased')
2.  
3. a =
4.  
5.     5.0000 9.0000 11.6667 9.0000 5.0000
6.  
7.  
8. b =
9.  
10.     -2 -1 0 1 2
11.  
12. >>

3. xcorr(x, 'biased')
     参数'biased'的作用在于缺省参数的基础上除以序列x的长度，即a(1)=5/3；比如：
 

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1. >> [a, b] = xcorr(x, 'biased')
2.  
3. a =
4.  
5.     1.6667 6.0000 11.6667 6.0000 1.6667
6.  
7.  
8. b =
9.  
10.     -2 -1 0 1 2
11.  
12. >>

4. xcorr(x, 'coeff')
     此时用于求序列x的自相关序列，其结果是针对'biased'的情况进行归一化，使得b=0时即中间的值a(3)=1，因此a(1)=5/11.6667，所有的分组数据在'biased'基础上都通过11.6667归一运算：
 

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1. >> [a, b] = xcorr(x, 'coeff')
2.  
3. a =
4.  
5.     0.1429 0.5143 1.0000 0.5143 0.1429
6.  
7.  
8. b =
9.  
10.     -2 -1 0 1 2
11.  
12. >>
13.  

 

3.编写函数实现xocrr函数

根据1中提到的第三种方法计算自相关函数。u是输入的数据

clear all;

u=[1 2 3 4];

for k=0:length(u)-1     %U的自相关函数,点数多的时候，计算速度慢等价于xcorr，biased
    tmp = 0;
    for i=1:length(u)-k
        tmp = tmp + u(i)*u(i+k);
    end
    rx(k+1) = tmp/length(u);

end

得到结果为：

 

用matlab的函数xcorr()

clear all;

u=[1 2 3 4];

rx1=xcorr(u,'biased');

rx1=rx1(length(u):end)

 

可以得到

rx1=xcorr(u,'biased');

rx1=rx1(length(u):end)

才是我们用第三种方法所求的相关函数。