数据的描述性分析

描述统计内容包括：统计数据的收集方法、数据的加工处理方法、数据的显示方法、数据分布特征的概括与分析方法等。
分析数据的主要特征：集中程度、分散程度、数据的分布是正态还是偏态等。多元数据还要分析各个变量之间的相关性等。
单变量数据的数字特征：

• 均值：$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$ 表示数据的集中位置
• 方差：$S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2$ 表示数据的分散程度
• 变异系数：$CV=100\times \frac{S}{\bar{X}}(\%)$ 表示数据相对分散程度

偏度和峰度是刻画数据偏态、尾重程度的度量，与数据的矩有关系

• K阶原点矩：$V_k=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i^k$ 一阶原点矩即均值
• K阶中心距：$u_k=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^k$ 二阶中心距即方差
• 偏度：$g_1=\frac{n{\sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)}^3}{(n-1)(n-2)S^3}=\frac{n^2{u}^3}{(n-1)(n-2)S^3}$ 刻画数据对称性。当数据关于均值对称时为0，右偏时大于0，左偏时小于0
• 峰度：$g_2=\frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)S^4}{\sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)}^4-3\frac{(n-1{)}^2}{(n-2)(n-3)}$ 刻画数据尾重程度。数据总体为正态分布时为0，两侧极端数据较多时为正，否则为负

p分位数：$M_p=\{\begin{array}{ll}{x}_{[np]+1}& \text{n}p不是整数\\ \frac{1}{2}(x_{np}+x_{np+1})& \text{n}p是整数\end{array}$
$M_1=x(n)$最大值，$M_0=x(1)$最小值，$M_{0.5}=M$中位数，$M_{0.25}=Q_1$下四分位数，$M_{0.75}=Q_3$上四分位数。

• 四分位数极差：$R=Q_3-Q_1$ 度量样本分散性。对于有异常值的数据也具有稳健性
• 下、上截断点：$Q_1-1.5R$，$Q_3+1.5R$，大于上截断点的为特大值，小于下截断点的为特小值，两者均为异常值
• 三均值：$\hat{M}=\frac{1}{4}Q+\frac{1}{2}M+\frac{1}{4}{Q}_3$ 数据中心位置的数字特征

单变量数据的分布图：
为分析数据总体分布，常绘制直方图、累计分布图（分布函数）、QQ图、箱线图。其中QQ图为对目标累计分布函数值求标准正态分布累计分布函数的逆，若所有点基本上在一条直线上，我们可以说这两个分布是同一分布。
正态性检验是分布拟合检验中最重要的一种，可通过单样本K-S来检验分布是否为正态分布。

多元数据的数字特征与相关分析：
对二元总体$(X,Y)$，相关系数包括：

• 变量x,y观测数据的协方差：$S_{xy}=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$
• 协方差矩阵：$S=\left[\begin{array}{cc}{S}_{xx}& S_{xy}\\ S_{yx}& S_{yy}\end{array}\right]$ （对称阵）
• 相关系数（Pearson相关系数）：$r_{xy}=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}|r_{xy}|\le 1$
  Spearman相关系数要求两个变量的观测值是成对的，每对观测值间相互独立，两个变量的总体来自正态分布，且实验数据间的差距不能相差太大，即该相关系数受到异常值的影响较大。
• 秩相关系数（Spearman相关系数）：$\rho =1-\frac{6{\sum }_{i=1}^n{d}_i^2}{n(n^2-1)}$
  “秩”意为顺序，即将变量$X,Y$的数据进行排序，得到每个变量排序后的位置，对每组$x_i,y_i$的秩相减得到秩次的差值$d_i$，Spearman相关系数受异常值的影响很小。

在计算相关系数的同时，会计算样本的显著性水平，即P值。如果不显著，相关系数再高也没用，可能只是因为偶然因素引起的。通常需要p值小于0.1，最好小于0.05甚至0.01，才可得出结论：两组数据有明显关系。如果p=0.5，远大于0.1，只能说明相关程度不明显甚至不相关，起码不是线性相关。