通俗解释反向传播（Backpropagation）的计算

Backpropagation算法是目前绝大多数神经网络在优化参数时用到的算法，具有快速方便容易实现的优点。那么它是如何实现的呢？

首先看一张典型神经网络结构图：

上图是一个包含了输入层L1、一个 隐含层L2和输出层L3的简单神经网络，它的处理流程为根据输入层的input以及相应的权重和偏置（图中黑色带箭头的边），通过隐含层的加工，最终将结果映射到输出层得到结果。模型可以抽象表示为 y=f(x)，x,y分别表示输入输出向量，在分类问题中，y表示相应的类别 ，显然这是一个判别模型。

由神经网络的处理过程，想要得到输出 y ，我们必须知道上图中每条边的参数值，这也是神经网络中最重要的部分。在神经网络中是通过迭代的方法来计算这些参数的，具体来讲就是，首先初始化这些参数，通过神经网络的前向传导过程计算得到输出 y ，这些值与真实值存在着误差，不妨设累计误差函数为 err(x) ，然后利用梯度法极小化 err(x) 来更新参数，直至误差值达到要求停止计算。在更新参数这一过程中我们就用到了大名鼎鼎的反向传播算法。

为了能清楚说明神经网络的传播算法，我们取上图中的一条路径来做说明，不失一般性，假设路径为：

图中的边表示偏导数，如 α=∂Y∂X
想要知道输入 X 对输出 Z 的影响，我们可以用偏导数 ∂Z∂X=∂Z∂Y⋅∂Y∂X ，即：

∂Z∂X=αδ+αϵ+αζ+βδ+βϵ+βζ+γδ+γϵ+γζ⋯式子1

如果直接使用链式法则进行求导会出现一个问题，当路径数目增加时，该式子中的子项数目会呈指数增长，考虑到这种情况，我们把上式右侧进行合并，得到：

∂Z∂X=(α+β+γ)(δ+ϵ+ζ)⋯式子2

合并后的式子是不是非常清晰，关键是与式子1相比，只需要进行一次乘法就可以得出结果，大大提高了运算速度。

现在的问题是，对于式子2，应该如何实现？我们知道，假设一条 北京→郑州→武汉 的路径，我们可以先分析北京至郑州，再分析郑州至武汉；也可以先分析郑州至武汉，再分析北京至郑州。同理，根据计算方向的不同，可以分为正向微分与反向微分。我们先看针对上图的正向微分算法：

可以看到，正向微分算法根据路径的传播方向，依次计算路径中的各结点对输入 X 的偏导数，结果中保留了输入对各结点的影响。
我们再看下反向微分算法：



可以看到，该算法从后向前进行计算，结果中保留了路径中各结点对输出的影响。

这里就有一个问题了，既然正向反向都可以实现式子2的计算，那么我们应该选择哪个算法来实现呢？答案是反向微分算法，为什么呢？

首先我们看一个计算式子 e=(a+b)∗(b+1) 的图模型：

其中， c,d 表示中间结果，边的方向表示一个结点是另一个结点的输入。
假设输入变量 a=2,b=1 时，图中各结点的偏导计算结果如下：

利用正向微分算法，我们得到关于变量b的偏导计算结果如下：

而利用反向微分算法，我们得到的偏导计算结果如下：

对比两张图，看到区别了么？
可以看出，反向微分算法保留了所有变量包括中间变量对结果 e 的影响。若 e 为误差函数，则对图进行一次计算，则可以得出所有结点对 e 的影响，也就是梯度值，下一步就可以利用这些梯度值来更新边的权重；而正向微分算法得到的结果是只保留了一个输入变量对误差 e 的影响，显然，想要获得多个变量对 e 的影响，我们就需要进行多次计算，所以正向微分算法在效率上明显不如反向微分，这也是我们选择反向微分算法的原因。

参考：
Calculus on Computational Graphs: Backpropagation