双目测距中用到的视差图和景深的关系推导----三种方法详细解

         经过双目相机标定和校准后，双目相机的主光轴到达平行，如图所示是双目相机模型，世界坐标系中的任意一点都满足，该点与它在左右相机的成像点在同一个极平面上。OL和OR是左右相机的的光心，长为L的两条线段（端点为蓝色星星的线段）表示的是左右相机的像面。则光心到像面的最短距离就是焦距长度f。若P是世界坐标系中的一点，它在左右像面上的成像点是PL和PR。PL和PR距各自像面的左边缘的距离是XL和XR。视差就是XR-XL或者是XL-XR。标定和匹配后f，b，XR，XL都能够得到，那么物体的景深Z是多少呢？它和物体的视差有什么关系呢？

       这个一看就知道很简单了，别看下面的推导一堆公式，其实只用到了初中数学的知识。但人的记忆力真的有限，有一天被问到Z怎么求，我竟想好一会，要牢记住Z的求法，针孔相机成像模型是关键，要记住。另外，在这里把这个简单的公式用三对不同的相似三角形推导一下，这样我就会牢牢记住，有耐心看完的朋友们我相信再也不会忘记了。

        法一：在三角形OL-OR-P中。

                三角行PL-PR-P相似于三角形OL-OR-P，则有比例关系：

                                        (1)

                      推导过程：

得证(1)式有：

                这样只要求得XR-XL就可以知道Z了。

        法二：针对三角形OL-B-P和三角形OR-B-P分别有:

                左相机：三角形PL-C-P相似于三角形OL-B-P，有：

                即：    

      (2)

                右相机：三角形PR-C-P相似于三角形OR-B-P，有：

                 即：   

          (3)

                (2)+(3)式得到：

                可得到：

                得证: 

        法三：针对三角形OL-B-P相似于三角形OR-B-P有：

               左相机：三角形OL-PL-FL相似于三角形OL-B-P

               所以：

               即      

       (4)

              右相机：三角形OR-PR-FR相似于三角形OR-B-P

              所以：

              即 ：          

  (5)

             (4)+(5)  有：

；

             可推导出：

；   (6)

             (6)式的右边减去左边得证：

。

             至此，三种方法均得证。