动态规划之最大字段和

HDU1003

题意:dp[i]表示以i为结尾的最大字段和

题解

  • dp[i] = dp[i-1] + a[i] < a[i] ? a[i] : dp[i-1] + a[i] = dp[i-1] < 0 ? a[i] : dp[i-1] + a[i]

代码

#include 
using namespace std;
int const inf = 0x3f3f3f3f;
int const N = 1e5 + 10;
int a[N],dp[N];
int main(){
	int T,caser = 0;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		int st = 0,ed = 0,maxn = -inf;
		if(caser)	puts("");
		int n;
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		int cnt = 0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(dp[i-1] < 0){
				cnt = 1;
				dp[i] = a[i];
			}else{
				cnt++;
				dp[i] = dp[i-1] + a[i];
			}
			if(dp[i] > maxn){
				maxn = dp[i];
				st = i - cnt + 1;
				ed = i;
			}
		}
		printf("Case %d:\n",++caser);
		printf("%d %d %d\n",maxn,st,ed);
	}
	return 0;
}

HDU1081

题意:最大子矩阵

题解

  • 降维,枚举行的区间,把每一列都相加保存在一维数组中,就变成了最大子段和。

代码

#include 
using namespace std;
int const N = 100 + 10;
int const inf = 0x3f3f3f3f;
int a[N][N],b[N],dp[N];
int n;
int solve(int b[N]){
	int ans = -inf;
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i] = dp[i-1] < 0 ? b[i] : dp[i-1] + b[i];
		ans = max(ans,dp[i]);
	}
	return ans;
}
int main(){
	while(~scanf("%d",&n) && n){
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				scanf("%d",&a[i][j]);
		int ans = -inf;
		for(int up=1;up<=n;up++)
			for(int down=up;down<=n;down++){
				memset(b,0,sizeof(b));
				for(int i=1;i<=n;i++)
					for(int j=up;j<=down;j++)
						b[i] += a[j][i];
				ans = max(ans,solve(b));
			}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

HDU1559

题意:找指定大小的最大子矩阵

题解

  • 和上题一样降维,但是高度限制为x了。然后找长度为y的子区间,暴力O(n)跑一遍即可。

代码

#include 
using namespace std;
int const N = 1000 + 10;
int const inf = 0x3f3f3f3f;
int a[N][N],b[N],dp[N];
int n,m,T,x,y;
int solve(int b[N]){
	int ans = -inf;
	int sum = 0;
	for(int i=1;i<=y;i++)	sum += b[i];
	ans = sum;
	for(int i=y+1;i<=m;i++){
		sum = sum + b[i] - b[i-y];
		ans = max(ans,sum);
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&y);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=m;j++)
				scanf("%d",&a[i][j]);
		int ans = -inf;
		for(int up=1;up+x-1<=n;up++){
			int down = up + x - 1;  //高度确定了
			memset(b,0,sizeof(b));
			for(int i=1;i<=m;i++)
				for(int j=up;j<=down;j++)
					b[i] += a[j][i];
			ans = max(ans,solve(b));
		}
		printf("%d\n",ans);
	}	
	return 0;
}

HDU1024

题意:在n个数中找m个不相交的字段,使和最大。

题解

  • dp[i][j]表示前j个数分成i组的最大子段和
  • 转移方程为:dp[i][j] = max(dp[i][j-1] + a[j],max(dp[i-1][k]) + a[j]) (k < j)
  • dp[i][j-1] + a[j]表示前面j-1个数分成i组,第j个数只能加在最后一组里。
  • max(dp[i-1][k]) + a[j]表示前面k个数分成i-1组,第j个数单独一组。
  • 以上的复杂度为O(n^3)。可以预处理,last[k] = max(dp[i-1][k])。注意k < j。

代码

#include 
using namespace std;
int const N = 1e6 + 10;
int const inf = 0x3f3f3f3f;
int n,m;
int a[N],dp[N],last[N];
int main(){
	while(~scanf("%d%d",&m,&n)){
 		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		int maxn;
		memset(last,0,sizeof(last));
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(int i=1;i<=m;i++){  //枚举是第几组,dp[i][j]只与前一个状态,和当前状态有关
			maxn = -inf;
			for(int j=i;j<=n;j++){   //不用初始化
				dp[j] = max(dp[j-1] + a[j],last[j-1] + a[j]);//last[j] = max(dp[i-1][k])
				last[j-1] = maxn;   //maxn还没更新表示last[j] = max(dp[i][k])
				maxn = max(maxn,dp[j]);
			}
		}
		printf("%d\n",maxn);
	}
	return 0;
}

 

 

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