蒙提霍尔问题的概率原理及随机化模拟（也称三门问题，Java语言描述）
问题引入
人们常说：“相信自己的直觉”、“跟着自己的直觉走，没错的”、“要坚定自己的路”……
不是说这些话不对，但有时候结果还真不是我们直觉能get到的……
这是一个有趣的问题——三门问题，希望给大家一些启发。
三门问题
三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？如果严格按照上述的条件，即主持人清楚地知道，自己打开的那扇门后是羊，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。
这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。
Java模拟验证
这次也不能说是什么编程实现了，只能说做个随机化模拟吧，把数据量开的大一些，就1’000’000吧，问题不大。
这个模拟的思路就是我们用一个set，装 0, 1, 2 三个数字，模拟三扇门，然后先随机生成一下0~2之间的一个随机数（也就是真正的汽车所在位置）。
接下来我们随机生成一个参赛者的选择（他没有任何场外信息，只能三蒙一），由于我们模拟的是选手更改选择的情况，所以这个就没什么意义了，那就删去它。
然后还要随机生成一个主持人打开的门。主持人显然是知道车在哪里的，不论被没被参赛者第一次选中，主持人都只会打开一扇空门（也就是藏有山羊的门）。这个随机序号不能与真正的结果重合，也不能与选手选中的序号重合（这两种情况也可能重合）。这个序列也删去它。
一共只有三个数，删了两个，就只剩一个了。我们做的模拟是选手选择换门，所以剩下的门就是他选的答案，看一看与最初的随机答案一不一致就行。
最后概率竟是2/3。
import java.util.HashSet;
import java.util.Random;
import java.util.Set;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int times = 1000000;
int winNum = 0;
Set<Integer> set = new HashSet<>();
Random random = new Random();
for (int i = 0; i < times; i++) {
set.add(0);
set.add(1);
set.add(2);
//车在随机一个门后面
int result = random.nextInt(3);
//从三个门里面盲猜一个门
int guessNum = random.nextInt(3);
//剔除选项
set.remove(guessNum);
int removeNum = 3;
while (removeNum == result || removeNum == guessNum) {
removeNum = random.nextInt(3);
}
//主持人再删一个
set.remove(removeNum);
if (set.contains(result)) {
winNum++;
}
}
System.out.println("总游戏次数是：" + times);
System.out.println("当更改选择的时候，获胜次数是：" + winNum);
System.out.printf("更改选择的胜率是：%.3f%%", (double)winNum/times*100);
}
}
一则结果：
原理
不能只是知其然，更要知其所以然。
这个问题的分析还要回归到概率论上。
容易理解的分析
先给一个不规范的分析，更好理解：
试想原先三蒙一，概率确实是1/3，但反过来考虑，不是第一次选中的概率是2/3，那在主持人帮我们排掉一个不可能情况的情况下，我们换成没人动过的门，成功的概率是2/3，是大于我们“坚持信仰”概率的。
穷举分析
再给一个穷举的分析，本问题情况少，容易穷举：
A，B，C 三个值，按照换门的策略模拟：
| 初选 | 主持人选 | 剩下的 | 正确答案 | 是否猜对 |
|---|---|---|---|---|
| A | B | C | A | N |
| A | C | B | A | N |
| B | C | A | A | Y |
| C | B | A | A | Y |
| A | C | B | B | Y |
| B | A | C | B | Y |
| B | C | A | B | Y |
| C | A | B | B | Y |
| A | B | C | C | Y |
| B | A | C | C | Y |
| C | A | B | C | N |
| C | B | A | C | N |
统计基本事件，古典概型算概率得到P=2/3。
详细分析
主持人其实没啥用，所以可以不看：
第一次选的空门（概率66.6%），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车。
第一次选的汽车（概率33.3%），之后主持人开另一个空门，不换门，得到汽车。
这里影响到结果的概率问题只发生在第一次选门上，如果条件如上设置，当一开始的门选定后，事件的结果也就决定了，所以这里不存在之后主持人是选择1号空门，还是2号空门的问题，所以在做概率计算是不考虑主持人的选择。
如果也要考虑主持人的话：
第一次选的空门1（概率1/3），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车。事件总概率1/3。
第一次选的空门2（概率1/3），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车。事件总概率1/3。
第一次选的汽车（概率1/3），之后主持人开另一个空门1（概率1/2），不换门，得到汽车 这个事件总概率
。
第一次选的汽车（概率1/3），之后主持人开另一个空门2（概率1/2），不换门，得到汽车 这个事件总概率
。
主持人选1号空门还是2号空门打开，这里有个主持人的选择概率，我假设的是主持人随机选择（抽签或者随意），所以各给了50%的概率，如果主持人就是喜欢1号空门，必开1号，那么也就成了1号（100%），2号（0%）了，最后结果并不影响。
所以开始选中汽车，最后换门不得奖的概率是33.3%，开始选中空门，换门最后得奖的概率是66.6%。
当然了，其实分析题意就知道主持人这边与概率根本没有关系，所以真的不必考虑他。
Ending……
类似问题（Update on 2020.2.23）
找到了一篇博客，也是类似的问题。
仔细看看就能加深理解啦！