快速排序（quick sort）的特点是分块排序，也叫划分交换排序（partition-exchange sort）
代码实现方式可以有这么几种：
- 拼接结果
- 左右相互交换
- 快慢指针
1. 拼接结果
# Python3
class Solution:
def quicksort(self, nums):
# 当为 0 个或 1 个时，肯定有序，直接返回
if len(nums) < 2:
return nums
else:
# 选择第一位作为中位数
mid = nums[0]
less = [num for num in nums[1:] if num <= mid]
greater = [num for num in nums[1:] if num > mid]
return self.quicksort(less) + [mid] + self.quicksort(greater)
这种方式最直观，最好理解，但效率不高。为了找出大于和小于中位数的元素，循环遍历了 2 次
做一点小小的修改，改为一次遍历：
class Solution:
def quicksort(self, nums):
if len(nums) < 2:
return nums
else:
mid = nums[0]
less, greater = self.partition(nums, mid)[0], self.partition(nums, mid)[1]
return self.quicksort(less) + [mid] + self.quicksort(greater)
def partition(self, nums, mid):
less, greater = [], []
for num in nums[1:]:
if num <= mid:
less.append(num)
else:
greater.append(num)
return less, greater
优化后，运行时间降低了，但空间使用还很高，每次递归都额外需要 2 个平均长度为 ¼ n 的数组
1 + 2 ... + n-1 + n = ((n + 1) * n ) / 2
平均值 = ((n + 1) * n ) / 2 / n = (n + 1) / 2
两个数组平分平均值： (n + 1) / 2 / 2 ≈ 1/4 n
2. 左右相互交换
其实可以不使用额外空间，直接操作原数组。选择一个基准值，将小于它和大于它的元素相互交换。
class Solution:
def quicksort(self, nums):
self.quick_sort(nums, 0, len(nums) - 1)
def quick_sort(self, nums, start, end):
# end - start < 1
if start >= end:
return
# 每次使用最后一个数作为基准值
pivot_index = end
pivot = nums[pivot_index]
left, right = start, end - 1
while left < right:
# 左边跳过所有小于基准值的元素
while nums[left] <= pivot and left < right:
left += 1
# 右边跳过所有大于基准值的元素
while nums[right] > pivot and left < right:
right -= 1
# 交换
nums[left], nums[right] = nums[right], nums[left]
# 此时左右指针重合（left == right），其指向元素可能大于基准值
if nums[left] > pivot:
nums[left], nums[pivot_index] = nums[pivot_index], nums[left]
# 使 left 始终作为较大区间的第 1 个元素
else:
left += 1
self.quick_sort(nums, start, left - 1)
# pivot 不一定在中间，所以包含 left
self.quick_sort(nums, left, end)
使用此种方式，最好要将开头（或末尾）的元素设为基准值。如果使用中间元素，最后也交换到开头（或末尾），否则将考虑大量场景。
排序过程：
[6 5 3 1 8 7 2 4]
↑ ↑ ^
[2 5 3 1 8 7 6 4]
↑ ↑ ^
[2 1 3 5 8 7 6 4]
↑↑ ^
[2 1 3 4 8 7 6 5]
^
[2 1 3][4 8 7 6 5]
nums[left] <= pivot 时：
[6 7 3 4 8 1 2 5]
↑ ↑ ^
[2 7 3 1 8 1 6 5]
↑ ↑ ^
[2 1 3 4 8 7 6 5]
↑↑ ^
[2 1 3 4][8 7 6 5]
3. 快慢指针
上面这种方式其实使用两个相向指针，也可以使用同向快慢指针实现元素交换。
class Solution:
def quicksort(self, nums):
import random
def quick_sort(left, right):
# right - left < 1
if left >= right:
return
# 随机选择一个元素作为 pivot
pivot_index = random.randint(left, right)
pivot = nums[pivot_index]
# 1. 将中位数与末尾数交换，便于操作
nums[pivot_index], nums[right] = nums[right], nums[pivot_index]
# 2. 使用快慢指针，将所有小于中位数的元素移动到左边
store_index = left
for i in range(left, right):
if nums[i] <= pivot:
nums[store_index], nums[i] = nums[i], nums[store_index]
store_index += 1
# 3. store_index 位置元素肯定大于等于 pivot，所以交换
nums[right], nums[store_index] = nums[store_index], nums[right]
# 因为 pivot 在中间，所以减 1
quick_sort(left, store_index - 1)
# 因为 pivot 在中间，所以加 1
quick_sort(store_index + 1, right)
quick_sort(0, len(nums) - 1)
排序过程：
[6 5 3 1 8 7 2 4]
↑↑ ^
[6 5 3 1 8 7 2 4]
↑ ↑ ^
[3 5 6 1 8 7 2 4]
↑ ↑ ^
[3 1 6 5 8 7 2 4]
↑ ↑ ^
[3 1 2 5 8 7 6 4]
↑ ^
[3 1 2 4 8 7 6 5]
^
[3 1 2][4][8 7 6 5]
随机选择可以增加每次选择的基准值为中位数的几率
时间复杂度
最坏时间复杂度
每次基准值都是最大 （或最小）值时，所需递归次数最多，有两种情况：
- 数组有序时，每次使用最后 1 位（或第 1 位）作为基准值
1 2 3 4 5 6 7 8
^
1 2 3 4 5 6 7 [8]
^
1 2 3 4 5 6 [7]
^
1 2 3 4 5 [6]
^
1 2 3 4 [5]
^
1 2 3 [4]
^
1 2 [3]
^
1 [2]
^
[1]
- 随机选择时，每次选择到最大（或最小）的一位
6 7 3 4 8 1 2 5
^
6 7 3 4 1 2 5 [8]
^
6 3 4 1 2 5 [7] 8
^
3 4 1 2 5 [6] 7 8
^
3 4 1 2 [5] 6 7 8
^
3 1 2 [4] 5 6 7 8
^
1 2 [3] 4 5 6 7 8
^
1 [2] 3 4 5 6 7 8
^
[1] 2 3 4 5 6 7 8
此时递归次数为 n + 1，平均每次排序 ½ n 个数。所以最坏时间复杂度：O(n^2)。
最好时间复杂度
如果每次选择中位数作为基准值，递归次数会减少么？其实不会减少，但递归中遍历的次数会减少。如果每层遍历看成 n 次的话，可以用下面的这个图表示：
图片来自《算法图解》
所以最好时间复杂度为：O(n * log n)
平均时间复杂度
最坏时间复杂度的情况很少见，所以平均时间复杂度就是最好时间复杂度 O(n * log n)
空间复杂度
每次递归均会使用额外空间，所以空间复杂度跟递归次数有关。
最坏时间复杂度时，最坏空间复杂度也为 O(n)。最好时间复杂度时时，虽然递归没有减少，但当只有 1 个或 0 个元素时，没有使用额外空间，直接返回，所以最好空间复杂度为 O(log n)。平均时间复杂度也为 O(log n)。
第 1 种实现因为使用额外数组，最坏空间复杂度为 O(n^2)，最好空间复杂度为 O(n * log n)，
测试代码
import logging
logging.basicConfig(level=logging.INFO)
def main():
# nums = [3, 2, 1, 5, 6, 4]
# 针对第 1 种
print(Solution().quicksort(nums))
# 针对第 2、3 种
# Solution().quicksort(nums)
# print(nums)
if __name__ == '__main__':
main()
测试用例
[3, 2, 1, 5, 6, 4]
[3, 2, 1, 5, 6, 4, 4, 1]
[6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]
[]
延伸阅读
- Quicksort
- 中位数
- Pivot element