ST表

很好的用二进制来优化了\(RMQ\)中的操作

Body

定义一个数组\(f[i][j]\)表示数列中\([i,2 ^ j - 1]\)这一段区间的极值

可得

\[f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1]) \]

先说一下这个的正确性,因为我们知道

\[f[i][j] = max \{ f[i,i+2^j-1] \} \]

且

\[[i, i + 2 ^ j - 1] = [i, i + 2 ^ {j - 1} - 1],[i + 2 ^ {j - 1}, i + 2 ^ j - 1] \]

其实也就是从中间分开，分成两个相等的区间
那么f[i][0]又是什么呢？
它就是每个数组对应的值
因为

\[f[i][0] = max\{f[i,i+2^j-1]\} \]

\[2^0 = 1 \]

所以

\[f[i][0] = max\{f[i,i]\} \]

所以这个时候所有的f[i][0]都是当前节点的值
所以也就比较好理解了
然后还有一个比较重要的问题: 循环边界
首先我们知道\(i+2^j-1 \leqslant n\)
所以因为是先枚举j，再枚举的i，所以这个时候就可以作为i的边界

那么\(j\)的边界呢？

\[\because i+2^j-1\leqslant n \]

所以当\(i\)最小为\(1\)时

\[2^j \leqslant n \]

也就是

\[j\leqslant \log_2{n} \]

好了，那么下面就是主程序

Sample Code

#include
#include
#include
using namespace std;
#define maxn 1000005
int f[maxn][21];
int ask(int l,int r)
{
    int k=log2(r-l+1); 
    return max(f[l][k],f[r-(1<

Conclusion

ST表方便便捷，支持\(O(1)\)查询，比较适合在不变的序列上查找最值

Update - 2018.9.15

比较重要的一点是循环的顺序，如果i和j的位置没有搞好的话那么将会出很大的锅

今天考试的时候才发现这里有循环顺序错误啥的