推荐算法基础--矩阵奇异值分解svd

在推荐系统中协同过滤应该算是大名鼎鼎了，基本上做推荐的线上都会用协同过滤，比较简单而且效果较好，而协同过滤又分为基于用户的和基于物品的，基本上原理就是“与当前用户行为相似的用户喜欢一个物品，那么当前用户也会喜欢这个物品”，或者“物品A和物品B同时都被一个用户群喜欢，那么认为他们相似”。而协同过滤算法主要有两个模型，最邻近点对模型和潜在语义模型，第一个比较常用且为大家熟知，因为就是定义权值计算相似度，主要介绍第二个。
潜在语义模型最典型的就是矩阵分解模型，矩阵分解模型尝试找到一系列潜在向量参数。对每个用户u，找到一个k维向量Wu，对每个资源i，找到一个k维向量Hi。并且假设模型中每个用户u对每个资源i的兴趣为对应的潜在向量Wu和Hi的内积。说白了就是矩阵分解，然后通过奇异值提取特征来填充矩阵，推荐的本质就是根据矩阵中已知量计算未知量的过程。
对于一个矩阵m行n列矩阵M，存在一个分解使得

M=UΣV∗

其中U是mxm阶方阵，Σ是m×n阶非负实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶方阵，称为M的奇异值分解，Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。
一个非负实数σ是M的一个奇异值仅当存在Km的单位向量u和Kn的单位向量v如下：

Mv=σu and M∗u=σv.

其中向量u和v分别为σ的左奇异向量和右奇异向量。

如果一个矩阵分解后奇异值存在0，则奇异值分解结果不唯一。

对于任意的奇异值分解

M=UΣV∗

矩阵Σ的对角线上的元素等于M的奇异值. U和V的列分别是奇异值中的左、右奇异向量。因此，上述定理表明：

• 一个m×n的矩阵至多有p = min(m,n)个不同的奇异值；
• 总能在Km中找到由M的左奇异向量组成的一组正交基U；
• 总能在Kn找到由M的右奇异向量组成的一组正交基V。

svd分解方法基本上搜了半天没有找到，有人了解可以详细解释下，或者后面找到了补充一下，但是基本上都有现成的库可以用。
这里说一下矩阵分解在推荐中的运用：

1. 利用矩阵分解，然后用 UΣV∗ 还原矩阵填充矩阵中未知变量，这样就能知道用户对物品的喜爱程度，然后做推荐
2. 运用矩阵分解提取特征， 然后获取重要特征，从大到小排序取最大的k个，用M.T*Uk*Σk.I提取物品特征，(这里.T表示矩阵转置，.I表示逆矩阵)由于特征只有k个，矩阵变成m行k列，然后可以很快计算物品相似度，推荐用户喜欢物品的相似物品。
3. 同样提取重要特征，然后用M*Vk*Σk提取用户特征，计算用户相似度，做用户聚类之类。这里可能有些地方不对，有不对的希望指正。

下面上一个例子，通过矩阵分解提取主要特征，然后计算物品相似度给某个用户推荐物品：

#coding=UTF-8
from numpy import *
from numpy import linalg as la

def loadExData():
    return[[0, 0, 0, 2, 2],
           [0, 0, 0, 3, 3],
           [0, 0, 0, 1, 1],
           [1, 1, 1, 0, 0],
           [2, 2, 2, 0, 0],
           [5, 5, 5, 0, 0],
           [1, 1, 1, 0, 0]]

def loadExData2():
    return[[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5],
           [0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],
           [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],
           [3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],
           [5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],
           [4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],
           [0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],
           [0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2],
           [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0],
           [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]]

def ecludSim(inA,inB):
    return 1.0/(1.0 + la.norm(inA - inB))

def pearsSim(inA,inB):
    if len(inA) < 3 : return 1.0
    return 0.5+0.5*corrcoef(inA, inB, rowvar = 0)[0][1]

def cosSim(inA,inB):
    num = float(inA.T*inB)
    denom = la.norm(inA)*la.norm(inB)
    return 0.5+0.5*(num/denom)

def standEst(dataMat, user, simMeas, item):
    n = shape(dataMat)[1]
    simTotal = 0.0; ratSimTotal = 0.0
    for j in range(n):
        userRating = dataMat[user,j]
        if userRating == 0: continue
        overLap = nonzero(logical_and(dataMat[:,item].A>0, \
                                      dataMat[:,j].A>0))[0]
        if len(overLap) == 0: similarity = 0
        else: similarity = simMeas(dataMat[overLap,item], \
                                   dataMat[overLap,j])
        print 'the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity)
        simTotal += similarity
        ratSimTotal += similarity * userRating
    if simTotal == 0: return 0
    else: return ratSimTotal/simTotal

def svdEst(dataMat, user, simMeas, item):
    n = shape(dataMat)[1]
    simTotal = 0.0; ratSimTotal = 0.0
    U,Sigma,VT = la.svd(dataMat)
    Sig4 = mat(eye(4)*Sigma[:4]) #arrange Sig4 into a diagonal matrix
    xformedItems = dataMat.T * U[:,:4] * Sig4.I  #create transformed items
    Sig = mat(eye(n)*Sigma) #arrange Sig4 into a diagonal matrix
    #print Sig
    #print U * Sig * VT #back up source mat
    #print xformedItems #item feature begin compute item similer
    #print "user feature:"
    #xformedUsers = dataMat * VT[:,:4] * Sig4
    #print xformedUsers
    #print  xformedUsers * xformedItems.T
    #print dataMat
    for j in range(n):
        userRating = dataMat[user,j]
        if userRating == 0 or j==item: continue
        similarity = simMeas(xformedItems[item,:].T,\
                             xformedItems[j,:].T)
        print 'the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity)
        simTotal += similarity
        ratSimTotal += similarity * userRating
    if simTotal == 0: return 0
    else: return ratSimTotal/simTotal

def recommend(dataMat, user, N=3, simMeas=cosSim, estMethod=standEst):
    #print 'type', dataMat[:,:4] #the number user line or col
    print nonzero(dataMat[user,:].A==0) # to array
    unratedItems=nonzero(dataMat[user,:].A==0)[1]
    print unratedItems
    #unratedItems = nonzero(dataMat[user,:].A==0)[1]#find unrated items 
    if len(unratedItems) == 0: return 'you rated everything'
    itemScores = []
    for item in unratedItems:
        estimatedScore = estMethod(dataMat, user, simMeas, item)
        itemScores.append((item, estimatedScore))
    return sorted(itemScores, key=lambda jj: jj[1], reverse=True)[:N]

def printMat(inMat, thresh=0.8):
    for i in range(32):
        for k in range(32):
            if float(inMat[i,k]) > thresh:
                print 1,
            else: print 0,
        print ''

def imgCompress(numSV=3, thresh=0.8):
    myl = []
    for line in open('0_5.txt').readlines():
        newRow = []
        for i in range(32):
            newRow.append(int(line[i]))
        myl.append(newRow)
    myMat = mat(myl)
    print "****original matrix******"
    printMat(myMat, thresh)
    U,Sigma,VT = la.svd(myMat)
    SigRecon = mat(zeros((numSV, numSV)))
    for k in range(numSV):#construct diagonal matrix from vector
        SigRecon[k,k] = Sigma[k]
    reconMat = U[:,:numSV]*SigRecon*VT[:numSV,:]
    print "****reconstructed matrix using %d singular values******" % numSV
    printMat(reconMat, thresh)
if __name__ == '__main__':
    print "begin"
    myData=loadExData2()
    myMat=mat(myData)
    #myMat = mat(loadExData)
    recommend(myMat, 2, 3, cosSim, svdEst)