字符串匹配问题——暴力法与KMP算法详解

1.案例题

题目描述
给出两个字符串 s1和s2，其中s2为 s1的子串，求出 s2在 s1中所有出现的位置。
为了减少骗分的情况，接下来还要输出子串的前缀数组 next。
（如果你不知道这是什么意思也不要问，去百度搜 kmp算法 学习一下就知道了。）
输入格式
第一行为一个字符串，即为s1。
第二行为一个字符串，即为s2。
输出格式
若干行，每行包含一个整数，表示s2在s1中出现的位置
接下来 1 行，包括 |s2|个整数，表示前缀数组 next[i] 的值。
输入输出样例
输入
abababC
aba
输出
1
3
0 0 1 

• 题目来源：https://www.luogu.com.cn/problem/P3375

2.固用思维——暴力法（无Next数组）

2.1算法设计

• 从s1字符串的第一个字符开始，然后从s2第一个字符开始往后匹配；
• 如果出现不一致的字符，从s1下一个字符开始重新匹配；
• 如果匹配的与s2全部一致，则输出此次匹配对应的位置，再继续从s1下 一个字符开始重新匹配；
• 直到匹配到s1最后一个字符结束匹配。

2.2算法可视化流程

2.3算法时间复杂度分析

• 假设主串s1长度为m，模式串s2长度为n，那么在最坏条件下，就是从s1的每一个字符开始的匹配都会匹配到s2的最后一个字符，以此可以计算出暴力法的时间复杂度为O(m*n)。

2.4程序代码

#include
#define MAX1 10000
#define MAX2 10000
using namespace std;

int main()
{
	char s1[MAX1];
	char s2[MAX2];
	cin >> s1;//输入s1
	cin >> s2;//输入s2
	int m = 0;
	int n = 0;
	for (;;m++)//计算s1长度
	{
		if (s1[m] == '\0')
			break;
	}
	for (;;n++)//计算s2长度
	{
		if (s2[n] == '\0')
			break;
	}
	for (int i = 0;i < m;i++)//暴力匹配
	{
		for (int j = 0;j < n;j++)
		{
			if (s1[i + j] == s2[j])
			{
				if (j == n - 1)//匹配到s2的最后一个元素也一致，输出结果
				{
					cout << i + 1 << endl;
				}
			}
			else//出现不一致的元素直接退出，s2向后移一个单位重新开始匹配
				break;
		}
	}
	return 0;
}

2.5程序测试

测试输入：
s1为aabcababbabcabcabcb
s2为abcab
预期结果应为：
2
10
13
运行结果如下：

测试结果正确。

2.6结果分析

• 暴力法的思路较为简单，条理较为清晰。不足之处就是做了很多重复的匹配，导致算法的效率较低，时间复杂度太高。
• 所以在暴力法的基础上进行优化，解决重复匹配的问题，使算法的效率提高。

3.优化算法——KMP算法

3.1算法设计

1. Next[]数组

• Next数组主要用来存放最大公共前后缀的长度值，此值定义为k值，即Next[]数组存储一组k值
  

2. KMP算法的关键之处
   假如匹配到如下的情况：
   
   如果用暴力算法，下一步应为：
   
   如果用KMP算法，下一步应为：

此时j=5，匹配失败，S[i]=“c”， T[5]=“a”，S[i]!=T[5]。
接下来继续匹配时，需要主串中S[i]位置不变，模式串位置变为T[k]，现在需要求k值。根据公式k=next[j-1]，需要取模式串”ABABAA”的next[]数组的第j-1=5-1=4位的数组值，此时Next[]={0,0,1,2,3,1}"，在此next[]数组中，next[4]=3，即k=3（j前面字符串”ABABA”的最长公共前后缀为"ABA"，它的长度值为3，即k=3）；此时，根据KMP算法，主串i不变，模式串T向右滑动m=j-k=5-3=2位，模式串新的j值为j=k=3，见下：

这样匹配速率就快了很多。

3.2可视化流程

3.3算法时间复杂度分析

• 假设S主串的长度为m，T模式串的长度为n。

1. 计算next数组需要将T模式串的每一个元素都求值，即时间复杂度为O(n)。
2. 匹配时S中每一个元素匹配时只需要调用T相对应元素的next值来进行匹配，所以时间复杂度为O(m)。
3. 算法总复杂度为O(m+n)。

3.4程序代码

#include
#define MAX1 10000
#define MAX2 10000
using namespace std;

int main()
{
	char s1[MAX1];
	char s2[MAX2];
	cin >> s1;//输入s1
	cin >> s2;//输入s2
	int m = 0;
	int n = 0;
	for (;;m++)//计算s1长度
	{
		if (s1[m] == '\0')
			break;
	}
	for (;;n++)//计算s2长度
	{
		if (s2[n] == '\0')
			break;
	}
	//建立next数组
	int* next = new int[n];
	next[0] = 0;
	int k = 0;
	int t = 1;
	while (t != n)
	{
		if (s2[t] == s2[k])//相等时next值即为上一个元素next值加1
		{
			next[t] = ++k;
			t++;
		}
		else if (k > 0)
		{
			k = next[k - 1];//k往前跳到上一个最大前缀序列的后一个字符
		}
		else
		{
			next[t] = 0;//k调到0位置时
			t++;
		}
	}
	//开始匹配
	for (int i = 0, j = 0; i < m; i++) 
	{
		while (j > 0 && s1[i] != s2[j])//s2下一个匹配位为next数组的第j-1位，直至j=0结束
		{
			j = next[j - 1];
		}
		if (s1[i] == s2[j]) 
		{
			j++;//主串通过i进行加1，模式串通过j加1
		}
		if (j == n)//s2最后一个字符匹配完成，输出，开始接下来的匹配
		{
			cout << i - j + 1 << endl;
			j = next[j - 1];
		}
	}
	//输出next数组
	for (int i = 0;i < n;i++)
		cout << next[i] << " ";
	cout << endl;
	return 0;
}

3.5程序测试

1. 测试1

测试输入：
s1为bbcxabcdabxabcdabcdabde
s2为abcdabd
预期结果为：
16
0 0 0 0 1 2 0
运行结果如下：

测试正确。

2. 测试2

测试输入：
s1为abcabcbabcabc
s2为abcab
预期结果为：
1
8
0 0 0 1 2
运行结果为：

结果正确。

3. OJ结果
   

3.6结果分析

• KMP算法通过next数组存储字符串每一个元素的最大公共前后缀，根据最大公共前后缀来进行失配时的下一步匹配操作，从而巧妙地解决了暴力法在匹配时来回重复匹配的问题，大大提高了算法的效率，降低了时间复杂度。

参考文献

• 卑微小坑.【算法ABC】KMP 算法. leetcode平台，2020
• Sirm23333. 通俗易懂的字符串匹配KMP算法及求next值算法. CSDN平台，2018
• 大漠老酒. 三步学通KMP. CSDN平台，2020
• a282608054. 理解KMP算法及其复杂度估计. CSDN平台，2018
• qq_41111491. KMP算法难以理解部分. CSDN平台，2018
• 奶糖猫.《别再暴力匹配字符串了，高效的KMP，才是真的香》. 掘金平台，2020