【编程基础】浮点数在计算机中的存储 —— IEEE 754标准

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用于存储小数的数据类型是有单精度浮点型(float)和双精度浮点型(double)，那么，浮点数在计算机中是以怎样的二进制代码存储的呢？

本篇将为你揭秘浮点数在计算机中的存储方式~

1. 浮点数在编程时的表示方式（书写方式）

浮点数在编程时有两种写法：

• 传统写法：直接写(eg. 0.1234)
• 科学计数法：用e表示(eg. 12.34e-2)

2. 十进制小数与二进制浮点数之间的转化

• 十进制小数 -> 二进制浮点数
• 二进制浮点数 -> 十进制小数

具体参考常用进制及其转化一文。

3. 浮点数按照IEEE 754标准存储在计算机中

IEEE 754

IEEE 754全称ANSI/IEEE Std 754-1985，是CPU和浮点运算器中广泛使用的二进制浮点算术标准。

IEEE 754标准定义了表示浮点数的格式，一些特殊数值（（无穷（Inf）与非数值（NaN）），以及这些数值的“浮点数运算符”。

IEEE 754规定了四种表示浮点数值的方式：

• 单精确度（32位）
• 双精确度（64位）
• 延伸单精确度（43比特以上，很少使用）
• 延伸双精确度（79比特以上，通常以80位实现）

IEEE 754中二进制浮点数的存储格式

IEEE 754标准中规定的二进制浮点数存储格式如图，有三个域分别对应：

• sign：最高位是符号位，0表示正数，1表示负数（对应二进制小数的符号）
• exponent：指数值的编码值（对应二进制小数的指数）
• fraction：有效值的编码值（对应二进制小数的有效值，范围：大于等于1，小于2）

所以，二进制浮点数的实际值为：

$$value=(-1{)}^{sign}\ast fraction\ast 2^{exponent}$$

举个例子就懂了：

eg.

十进制小数5.625转化为二进制为101.101B，按照IEEE 754标准表示为：1.01101*2^2，所以得出各个域的值为：

• sign：0
• exponent：2
• fraction：1.01101

根据这个公式，得出了IEEE 754标准中三个域分别应该存储的数，先理解到这儿即可，后面再详细讲述如何将这三个数进行编码存储。

IEEE 754中每个域的长度

在IEEE 754标准中，不同的表示方式，对应三个区域的长度也不同。

以常用的单精度和双精度来说：

• 32位单精度
  

• 64位双精度
  

接下来开始最关键的部分 —— —— 有效值和指数值是以怎样的编码存储的？

IEEE 754存储格式的有效值段(fraction)

IEEE 754中规定了有效值的范围是：大于等于1，小于2。

这意味着有效值的整数部分永远是1，所以这个可以忽略掉（不存储）整数部分的1和小数点，只存储小数部分的值即可。

这样做的好处是节省了一位，比如32位单精度本来只规定了23位用于存储有效数字的值，但实际可以存储24位有效数字的值。

eg.

之前的例子中有效值字段是1.01101B，省略掉整数部分的1，只存储01101B，右边不够的补零，所以单精度存储方式中，23位有效值字段的值是0110 1000 0000 0000 0000 000。

IEEE 754存储格式的指数段(exponent)

指数E的存储情况比较复杂。

首先，E为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0_{255；如果E为11位，它的取值范围为0}2047。但是，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，E的真实值必须再加上一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。

再用之前的例子来说明了这个知识：

eg.

指数字段是2，在32位单精度存储时，2 + 127 = 129，所以8位指数字段存储的值是129的二进制，即：1000 0001B。

最后再讲述一下指数E的三种不同情况所表示的数：

• E不全为0或不全为1：浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023）就是实际值，再补上省略掉的1。

• E全为0：浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。

• E全为1：如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。

C语言程序验证示例结果

综合上述的讲述，示例中十进制小数5.625用32位单精度存储是：

0 10000001 01101000000000000000000
= 0100 0000 1011 0100 0000 0000 0000 0000
= 0x40b40000

下面在C语言中验证一下结果是否正确：

/**
 * @ brief      验证浮点数在计算机中存储的IEEE 754标准
 * @ author     mculover666
 * @ date       2019年6月23日14:49:35
 */
#include 
#include 

int main(void)
{
    float i = 5.625;    //0100 0000 1011 0100 0000 0000 0000 0000 
    int *p = &i;

    printf("i = %f\n", i);
    printf("i = %x\n", *p);

    system("pause");
    return 0;
}
/**
 * 在Mingw-w64编译器下运行结果：
 * ---------------------------------------
    i = 5.625000
    i = 40b40000
 * ---------------------------------------
 */

在64位Win7系统上，用Mingw-w64编译，运行结果如下：

最后附上一个十进制小数转IEEE 754浮点数的小工具：http://www.styb.cn/cms/ieee_754.php。