84. 柱状图中最大的矩形/C++

给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1 。

求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。

以上是柱状图的示例，其中每个柱子的宽度为 1，给定的高度为 [2,1,5,6,2,3]。

图中阴影部分为所能勾勒出的最大矩形面积，其面积为 10 个单位。

示例:

输入: [2,1,5,6,2,3]

输出: 10

这道题最好的做法是是使用单调栈，只要遍历一次就可求出最大面积。

一、如何求最大矩形面积

现在我们从头开始讲，如果要求只能遍历一次，那么如何求最大面积？
我想到一个思路，那就是先把能完全包含各个柱状图的矩形的最大面积求出来，然后求出其中最大值即可。以例题来说就是

• 能完全覆盖第0个柱子的最大矩形
  

• 能完全覆盖第1个柱子的最大矩形
  

• 能完全覆盖第2个柱子的最大矩形
  

• 能完全覆盖第3个柱子的最大矩形
  

• 能完全覆盖第4个柱子的最大矩形
  

• 能完全覆盖第5个柱子的最大矩形
  
  如此这般，就能够覆盖所有分支而又不遗漏，将这6个矩形的面积比较下就知道最大面积了。

二、如何求以某个柱子为高的最大矩形

我们就以例题中第4个，高为2的柱子举例好了。
矩形的面积=高*宽。
我们很高兴的发现，在这个分支情况下，我们已经知道高为2了，那么宽度如何求呢？
通过观察，我们发现矩形的左边沿是左边第一个高比2小的柱子，右边沿是右边第一个高比2小的柱子（将高为3的柱子的右面看作还有一个高为0的柱子）
如此它的宽度是6-（1+1）=4

这时可能你已经一头雾水了，6是啥？1是啥？为什么要加1？
如果你这么问，我打赌你肯定是如下图这么想的。

如果你将柱子的左下角对应序号的话，或许会好一些。

我们说了矩形的左边沿是第1个柱子的右边，那可不就是（1+1）了吗？
矩形右边沿是第6个柱子的左边，直接就是6.
宽度自然就是6-（1+1）=4了。

注意：基于各个高度的最大矩形是在出栈的时候计算的，因此必须要让所有高度都出栈。这里是利用单调栈的性质让其全部出栈，即在原始数组后添一个0.

三、如何寻找左右边沿

我们已经说了，左边沿是左边第一小与本柱子高的柱子的右边，右边沿也是同理。
这正好可以用单调栈。
当第i个柱子进栈时，如果栈顶柱子（此处记作柱子A）的高度低于或等于第i个柱子，则第i个柱子进栈；
如果高于第i个柱子，则出栈，并计算以柱子A为高的矩形最大面积。

• 高度：就是柱子A的高度
• 右边沿：正好是i（由于单调栈的性质，第i个柱子就是右边第一个矮于A的柱子）
• 左边沿：单调栈中紧邻A的柱子。（如果A已经出栈，那么左边沿就是A出栈后的栈顶）而且是该柱子的右边，所以要+1.

因此，完全覆盖第index个柱子的最大矩形的面积如下（stk是单调栈）

maxArea=heights[index]*(i - (stk.top() +1))

还有一种情况。当A出栈后，单调栈为空时，那就是说明，A的左边没有比它矮的。左边沿就可以到0.

maxArea=heights[index]*(stk.empty()? i:(i - stk.top() -1)))

四、代码

int largestRectangleArea(vector<int>& heights) {
     heights.push_back(0);
     stack<int> stk;
     int maxArea = 0;
     for(int i = 0;i<heights.size();i++)
     {
         while(!stk.empty() && heights[i]<heights[stk.top()])
         {
             int top= stk.top();
             stk.pop();
             maxArea = max(maxArea,heights[top]*(stk.empty()? i:(i - stk.top() -1)));
         }
         stk.push(i);
     }
     return maxArea;
}

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