[2019 年百度之星·程序设计大赛 - 初赛三]简要题解？

UPD:AC代码放上去了

前言

老年贤者选手终于记得打百度之星了
Orz mayaohua2003

题目链接

最短路 1

$n\oplus 1$

Code

#include 
#include 
#include 
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;

int ty,n;

int main() {
	for(scanf("%d",&ty);ty;ty--) {
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",n^1);
	}
	return 0;
}

最短路 2

枚举i，求最短路DAG，Dp

Code

#include 
#include 
#include 
#include 
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define rep(i,a) for(int i=lst[a];i;i=nxt[i])
#define pb(a) push_back(a)
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=4e3+5,Mo=998244353;
const ll inf=1e15;

int t[N],nxt[N],val[N],lst[N],l;
void add(int x,int y,int z) {t[++l]=y;val[l]=z;nxt[l]=lst[x];lst[x]=l;}

int ty,n,m,u[N],v[N],z[N],q[N<<5],deg[N],f[N];
ll dis[N];
bool vis[N];
vector<int> to[N],fr[N];

void spfa(int S) {
	fo(i,1,n) dis[i]=inf;dis[S]=0;
	int i=0,j=1;q[1]=S;vis[S]=1;
	while (i<j) {
		rep(k,q[++i])
			if (dis[t[k]]>dis[q[i]]+val[k]) {
				dis[t[k]]=dis[q[i]]+val[k];
				if (!vis[t[k]]) q[++j]=t[k],vis[t[k]]=1;
			}
		vis[q[i]]=0;
	}
}

int main() {
	for(scanf("%d",&ty);ty;ty--) {
		scanf("%d%d",&n,&m);
		l=0;fo(i,1,n) lst[i]=0;
		fo(i,1,m) {
			scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&z[i]);
			add(u[i],v[i],z[i]);add(v[i],u[i],z[i]);
		}
		int ans=0;
		fo(i,1,n) {
			spfa(i);
			fo(j,1,n) to[j].clear(),fr[j].clear(),deg[j]=0;
			fo(j,1,m) {
				int x=u[j],y=v[j];
				if (dis[x]==dis[y]+z[j]) to[y].pb(x),fr[x].pb(y),deg[x]++;
				if (dis[y]==dis[x]+z[j]) to[x].pb(y),fr[y].pb(x),deg[y]++;
			}
			int hd=0,tl=0;
			fo(j,1,n) if (!deg[j]) q[++tl]=j;
			while (hd<tl) {
				int x=q[++hd];
				if (to[x].empty()) continue;
				for(int j=0;j<to[x].size();j++) {
					int y=to[x][j];
					if (!(--deg[y])) q[++tl]=y;
				}
			}
			fo(j,1,n) f[j]=n+1;f[i]=0;
			fo(j,1,tl) {
				int x=q[j];
				if (x==i) continue;
				if (fr[x].empty()) continue;
				for(int k=0;k<fr[x].size();k++) {
					int y=fr[x][k];
					f[x]=min(f[x],y==i?0:max(f[y],y));
				}
				ans+=f[x];
			}
		}
		printf("%d\n",ans%Mo);
	}
	return 0;
}

算术

令n<=m
$$\mu (lcm(i,j))=\mu (i)\mu (j)\mu (gcd(i,j))$$
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\mu (lcm(i,j))$$
枚举$d=gcd(i,j)$，原式=
$$\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\mu (d)\mu (id)\mu (jd)[(i,j)=1]$$
反演，原式=
$$\sum _{d=1}^n\sum _{x=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{dx}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{dx}\rfloor }\mu (d)\mu (idx)\mu (jdx)\mu (x)$$
枚举T=dx，原式=
$$\sum _{T=1}^n\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{T}\rfloor }\mu (iT)\mu (jT)\sum _{d|T}\mu (d)\mu (\frac{T}{d})$$
直接计算即可

Code

#include 
#include 
#include 
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=1e6+5;

int ty,n,m;
ll a[N];
int p[N],mu[N];
bool bz[N];

void pre(int N) {
        mu[1]=1;
        fo(i,2,N) {
                if (!bz[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
                fo(j,1,p[0]) {
                        int k=i*p[j];if (k>N) break;
                        bz[k]=1;if (!(i%p[j])) break;
                        mu[k]=-mu[i];
                }
        }
}

int main() {
        pre(1e6);
        for(scanf("%d",&ty);ty;ty--) {
                scanf("%d%d",&n,&m);if (n>m) swap(n,m);
                fo(i,1,n) a[i]=0;
                fo(i,1,n) fo(j,1,n/i) a[i*j]+=mu[i]*mu[j];
                ll ans=0;
                fo(t,1,n) {
                        ll s1=0,s2=0;
                        fo(i,1,n/t) s1+=mu[i*t];
                        fo(i,1,m/t) s2+=mu[i*t];
                        ans+=a[t]*s1*s2;
                }
                printf("%lld\n",ans);
        }
        return 0;
}

反向传播

题意就是求f1(x)中某个xi的系数
对于每个点维护其内部的和
直接按题意模拟，每次只会修改一条链
询问暴力即可

Code

#include 
#include 
#include 
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=(1<<20)+5,Mo=998244353;

int m,q,opt,x,y;
int val[N];
char s[N];

void upd(int x) {
	if (s[x]=='0') val[x]=(val[x<<1]+val[x<<1|1])%Mo;
	else val[x]=(ll)val[x<<1]*val[x<<1|1]%Mo;
}

int main() {
	scanf("%d%d",&m,&q);
	scanf("%s",s+1);
	fo(i,1<<m-1,(1<<m)-1) val[i]=i-(1<<m-1)+1;
	fd(i,(1<<m-1)-1,1) upd(i);
	for(;q;q--) {
		scanf("%d",&opt);
		if (opt==1) {
			scanf("%d%d",&x,&y);x+=(1<<m-1)-1;
			val[x]=y;
			for(x>>=1;x;x>>=1) upd(x);
		} else {
			scanf("%d",&x);x+=(1<<m-1)-1;
			int ans=1;
			for(;(x>>1);x>>=1) if (s[x>>1]=='1') ans=(ll)ans*val[x^1]%Mo;
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}

Min

考虑从小到大往排列里面插入数字，相同的数字一起加入
排列合法的条件，就是对于每个大小为3的区间，严格最小值不能是最后一个数
显然在插入的过程中，已经不合法的排列不会变为合法
对于之前的排列的每一个空，显然最多插入一个当前的数
对于一个ai>ai+1的位置，i-1和i的空都不能插入
设F[x]表示当前有x个ai>ai+1的位置的方案数
枚举有多少个数插入，剩余的扔到排列最后

Code

#include 
#include 
#include 
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=1e3+5,Mo=998244353;

int ty,n,a[N],C[N][N],f[N],g[N],fac[N];

int main() {
	fo(i,0,1e3) {
		C[i][0]=1;
		fo(j,1,i) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%Mo;
	}
	fac[0]=1;fo(i,1,1e3) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%Mo;
	for(scanf("%d",&ty);ty;ty--) {
		scanf("%d",&n);
		fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
		sort(a+1,a+n+1);int sum=0,ret=1;
		fo(i,0,n) f[i]=0;
		for(int l=1,r=0;l<=n;l=r+1) {
			while (r<n&&a[r+1]==a[l]) r++;
			int x=r-l+1;
			if (l==1) f[0]=1;
			else {
				fo(i,0,sum+x-1) g[i]=0;
				fo(j,0,sum-1) fo(i,0,min(sum-2*j,x)) (g[j+i]+=(ll)C[sum-2*j][i]*f[j]%Mo)%=Mo;
				fo(i,0,sum+x-1) f[i]=g[i];
			}
			sum+=x;
			ret=(ll)ret*fac[x]%Mo;
		}
		int ans=0;
		fo(i,0,n-1) (ans+=f[i])%=Mo;
		printf("%d\n",(ll)ans*ret%Mo);
	}
	return 0;
}

权值

显然是个基环外向树
树的话先确定根，然后剩余的每个点的权值都有c+1种选择
问题变成单个环
先随便钦定一个数x，考虑限制
x1^x2<=c1
x2^x3<=c2
x3^x4<=c3
…
xn^x1<=cn
令yi=xi^xi+1
那么问题等价于$\forall y_i\le c_i,y1\oplus y2\oplus y3...\oplus yn=0$的方案数*2^60
考虑枚举最大的k，满足存在一个i，yi和ci的最高的不同的位是k
那么我们先不填这个i的后k位，等到最后来调整异或和为0
需要满足k前面的位异或为0，和k这一位的异或
设F[i][x][y]表示当前考虑完前i个数，第k位的异或和为x，是否出现过yi的第k位为0和ci的第k位为1
转移很简单

Code

#include 
#include 
#include 
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define rep(i,a) for(int i=lst[a];i;i=nxt[i])
using namespace std;

typedef long long ll;

ll read() {
	char ch;
	for(ch=getchar();ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
	ll x=ch-'0';
	for(ch=getchar();ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	return x;
}

const int N=1e5+5,Mo=998244353;

int t[N<<1],nxt[N<<1],lst[N],l;
ll v[N<<1];
void add(int x,int y,ll z) {t[++l]=y;v[l]=z;nxt[l]=lst[x];lst[x]=l;}

int n,a[N],b[N],sta[N],top,t1,pre[N],ret;
bool vis[N],in[N];
ll c[N],st[N],val[N];

void get_cir(int S,int T,ll V) {
	for(int cnt=top;sta[cnt+1]!=S;cnt--) {
		int x=sta[cnt];
		pre[x]=(x==S)?T:sta[cnt-1];
		val[x]=(x==S)?V:st[cnt-1];
		in[x]=1;
	}
}

void find(int x,int y) {
	sta[++top]=x;vis[x]=1;
	rep(i,x)
		if (i!=y) {
			if (!vis[t[i]]) {
				st[++t1]=v[i];
				find(t[i],i^1);
				t1--;
			} else if (!in[t[i]]) get_cir(t[i],x,v[i]);
		}
	top--;
}

void calc(int x,int y) {
	rep(i,x) 
		if (!in[t[i]]&&t[i]!=y) {
			ret=(ll)(v[i]+1)%Mo*ret%Mo;
			calc(t[i],x);
		}
}

int f[N][2][2],tot;

int Dp() {
	int ans=0;
	fd(i,59,0) {
		fo(j,1,tot) fo(z1,0,1) fo(z2,0,1) f[j][z1][z2]=0;
		ll r=0;
		fo(j,1,tot) r^=c[j]>>(i+1);
		if (r) break;
		f[0][0][0]=1;
		fo(j,1,tot)
			fo(z1,0,1)
				fo(z2,0,1) {
					if (c[j]>>i&1) {
						// 0
						ll now=z2?(1ll<<i)%Mo:1;
						(f[j][z1][1]+=(ll)now*f[j-1][z1][z2]%Mo)%=Mo;
						// 1
						now=(((1ll<<i)-1)&c[j])%Mo;now++;
						(f[j][z1^1][z2]+=(ll)now*f[j-1][z1][z2]%Mo)%=Mo;
					} else {
						ll now=(((1ll<<i)-1)&c[j])%Mo;now++;
						(f[j][z1][z2]+=(ll)now*f[j-1][z1][z2]%Mo)%=Mo;
					}
				}
		(ans+=f[tot][0][1])%=Mo;
	}
	ll r=0;
	fo(i,1,tot) r^=c[i];
	if (!r) (ans+=1)%=Mo;
	return ans;
}

int main() {
	n=read();l=1;
	fo(i,1,n) b[i]=read();
	fo(i,1,n) c[i]=read();
	fo(i,1,n) add(i,b[i],c[i]),add(b[i],i,c[i]);
	fo(i,1,n) if (!vis[i]) find(i,0);
	fo(i,1,n) vis[i]=0;
	int ans=1;
	fo(i,1,n) 
		if (in[i]&&!vis[i]) {
			int x=i;tot=0;
			do {
				a[++tot]=x;
				c[tot]=val[x];
				vis[x]=1;
				x=pre[x];
			} while (x!=i);
			ret=Dp();
			fo(j,1,tot) calc(a[j],0);
			fo(j,1,60) ret=ret*2%Mo;
			ans=(ll)ans*ret%Mo;
		}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}