浮点数表示——2（小班讨论3）

问题描述：

选题 4：在 C 中，如下代码：
float e = 1.1110999f;
printf(“1.1110999f 打印真实为：%f” , e);
会输出：1.1110999f 打印真实为：1.1111
深入分析其原因，并给出判断一个浮点数是否能精确表示的思路。

一．分析原因：

1首先我们对数据进行规格化：

（1） 对于数据e = 1.1110999f,我们先将其转化为数学形式：1.1110999*10^0
（2） 然后符号位S=0
（3） 阶码值esp=0+127=01111111
（4） 尾数为0.1110999转化为二进制：
0.0001110001110001000010110000010100010110110000000011011
由于float的frac只有23位，所以我们要对frac值做一个四舍五入（不是向偶数舍入）：
Frac=00011100011100010000101——> 00011100011100010000110
（5） 最终的表示结果：
00111111 10001110 00111000 10000110
我们用图来表示这个过程：

2.printf函数打印：

printf("%f" , e)没有指定输出保留多少位，默认是保留6位小数，而浮点数可以表示e为

保留6位小数后，四舍五入输出结果为1.111000。

验证我们的观点：

上述观点是否正确？我们可以上机运行，查看变量e在内存中的值，我们还可以打印16位观察数据是否准确
（1） 调试程序，运行结果查看e在内存中的值

可以发现存储方式和规格化值一致

（2） 修改程序，打印16位


可以看到，输出16位的结果和我们预测的结果一致，由此证明我们的结论正确。

二．判断一个浮点数是否能精确表示的思路

一个浮点数内否被精确表示这需要从规格化的原理来寻找答案，我们可以从如下几个角度来判断是否能被精确表示：

我们假设一个浮点数由m+n+1表示：

计算出bits=2^(k-1)-1

（1） 首先是范围：

这样一个浮点数的表示范围是-(2-(1/2）^n)*2^bits~+(2-(1/2）^n)*2^bits
如果数据不再这个范围内，那么不用考虑，他一定不能被精确表示

（2） 规格化数和非规格化数：

对于可以被表示的数据，我们要进行计算，观察表示后的数据截取frac的n位后是否发生了舍入，如果不发生说明该数据可以被精确表示，否则不能被精确表示，例如：

以单精度浮点数为例：

单精度Float e=1.1110999
计算frac尾数0001110001110001000010110000010100010110110000000011011
由于单精度只有23的frac位，所以要发生位舍入（截取），所以不能被精确表示

单精度float F= 0.002838134765625，我们将其表示为二进制存储的形式时
符号位：s=0
阶码值Exp=00000000
frac=00000000 10111010 0000000……没有发生位的截取，所以说F可以被精确表示。

总结：

总结：

• printf("%f" , e)没有指定输出保留多少位，默认是保留6位小数
• 浮点数的表示范围是-(2-(1/2）^n)*2^bits~+(2-(1/2）^n)*2^bits
• frac的n位后是否发生了舍入，如果不发生说明该数据可以被精确表示，否则不能被精确表示
• 最小的非规格化数：2^(-n)*2^（-bits+1）
• 最大的非规格化数：(1-(1/2）^n)*2^（-bits+1）
• 最小的规格化数：2^（-bits+1）
• 最大的规格化数： (2-(1/2)^n)*2^bits