导导96
导导96

Micciancio 和 Peikert 提出的基于随机格的陷门生成算法

1.陷门的构造

单向陷门函数：已知x, 很容易求解y=f(x); 但是已知f(x)，很难求解x, 需要一些额外的知识k, x=f^{-1}(y,k)

1.本原矩阵 G=\begin{bmatrix} ...g^{t}... & & & \\ & ...g^{t}... & & \\ & & \cdots& \\ & & & ...g^{t}... \end{bmatrix}\in Z_q^{n\times nk},  其中g^{t}=[1, 2 ,4 ,\cdots, 2^{k-1}]\in Z^{1\times k}_{q}

2 随机化 G\rightarrow A 通过幺模矩阵，这个转换过程是陷门                                                                                                                                           

Micciancio 和 Peikert 提出的基于随机格的陷门生成算法_第1张图片

 

定义：设矩阵A\in Z^{n\times m}_q, G\in Z_q^{n\times \omega nk},m\geq \omega \geq n, 矩阵A的G-陷门是矩阵R\in Z^{(m-\omega )\times \omega }_q.。设可逆矩阵H\in Z^{n\times n}_q,有以下等式成立。其中H可以作为陷门的标签，最大谱范数S_1(R)可以判断陷门的质量。

  • 均匀随机选取\overline{A}\in Z^{n\times\overline{ m}}_q， 定义了半随机矩阵 [\overline{A}| HG]
  • 通过高斯抽样 R\in Z^{\overline{m} \times n\log q }_q, A=[\overline{A}|HG]\cdot \underbrace{\begin{bmatrix} I & -R\\ 0 & I \end{bmatrix}}_{unimodular }=[\overline{A}|HG-\overline{A}R]，当且A是均匀的,满足 \widetilde{m}=n\log q，输出均匀随机矩阵A；

2.高斯原像抽样

如果抽样\textbf{x}来自于集合\Lambda ^{\perp }_{\textbf{u}}(\textbf{G}),满足r\geqslant 2\sqrt{ln(2n(1+1/\varepsilon ))/\pi }, 那么抽样\textbf{y}=\begin{bmatrix} R\\ I \end{bmatrix}\cdot\textbf{x}来自于集合\Lambda ^{\perp }_{\textbf{u}}(\textbf{A})。由于\begin{bmatrix} R\\ I \end{bmatrix}不是方阵，所以协方差COV=r^2\begin{bmatrix} R\\ I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} R^t& I \end{bmatrix}非满秩的，y的分布式是非球体的可能会泄露陷门的消息。

正常的高斯分布Micciancio 和 Peikert 提出的基于随机格的陷门生成算法_第2张图片

非球体的高斯分布Micciancio 和 Peikert 提出的基于随机格的陷门生成算法_第3张图片

我们需要添加一个扰动\textbf{p},使高斯原像抽样服从高斯分布，该方法叫高斯卷积(‘convolution technique’.)

高斯卷积方法：

             Micciancio 和 Peikert 提出的基于随机格的陷门生成算法_第4张图片

那么扰动\textbf{p}协方差是\Sigma _{\textbf{p}}=s^2-r^2\begin{bmatrix} R\\ I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} R^t& I \end{bmatrix},  其中s\geqslant (s_1(\textbf{R})+1)(\Sigma _{\textbf{G}}+2)

令\textbf{v}=\textbf{u}-\textbf{A}\textbf{P}, 那么抽样\textbf{y}=\begin{bmatrix} R\\ I \end{bmatrix}\cdot\textbf{x}来自于集合\Lambda ^{\perp }_{\textbf{v}}(\textbf{A})

输出高斯原像抽样\textbf{z}=\begin{bmatrix} R\\ I \end{bmatrix}\cdot\textbf{x}+\textbf{p}

 

 

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