《几何原本》第一卷的命题结构

大数学家可以批判《几何原本》的公理体系不够严密，业余爱好者则不能这样做。应该精读。

第一卷最重要的命题序号为1,2,4,8,16,32。以及压轴的47。

第一命题是作一个正三角形。古希腊人重视美感，不会放过当时能作出的任何正多边形。正三角形是所有正多变形中最简单的一个。因此，作正三角形，理所当然成为第一个命题。

第二个命题是讲线段的迁移，同时演示了线段可以加减，等式可以传递。虽然是作图的命题，地位等同于公理。

第四个命题讲SAS全等，以及同时得到的角相等。在希尔伯特的公理体系中，直接由SAS得到一个底角相等。这是一个公理，而不是定理。因此，不是普普通通的命题。

第八个命题是SSS全等，重要性自然不必多言。书中利用SSS全等来迁移角，如命题23所作。而角的迁移，在希尔伯特的公理体系中，也是作为公理存在的。

第十六个命题是外角定理。欧几里得和希尔伯特的证明方法不一样。在希尔伯特的书中，是第22个命题。直接推导出许多重要结论。而且，从外角定理直接可以得到过直线外一点的平行线之存在性。第五公设就可以只写半边，写成“至多有一条”的形式。

第三十二个命题，是由第五公设得到的最完美、最著名的结论之一。几何原本，最核心的内容，是第五公设。三角形三个内角和为两直角。在引入阿基米德公理的情况下，这个命题可以替代欧几里得公设。

第一卷一共48个命题，其中，第47个命题称为“压轴”的命题。所谓“压轴”是倒数第二个，不是最后一个。最后一个叫做“压台”。压轴的是勾股定理，压台的是勾股定理逆定理。

勾股定理在应用中的重要性不必多说。在这卷书中，可以发现，从命题33起，就一直在为勾股定理的证明做铺垫。命题33引入平行四边形，命题34将其剖分成两个全等的三角形，然后，不厌其烦的讨论，夹在平行线之间的同底和等底的平行四边形以及三角形，研究面积和平行线的关系。然后进行面积的转化，化三角形和多边形为平行四边形。

但命题46直接就开始讨论正方形。这中间似乎遗漏了些什么，包括化平行四边形为长方形，以及化长方形为正方形两个步骤。前者是简单的，只要进行一个割补，或者给定最初的角为直角即可;后者，化长方形为正方形，命题出现在第二卷第14命题。

如果把这14个命题插入到第45,46命题之间，则压轴的命题编号会是（47+14）=61，压台的会是62。也许，原著准备把勾股定理的逆定理先证明出来，最后证明勾股定理，把勾股定理安排在第64个定理。但后来发现，先证明逆定理是困难的。尽管第二卷的命题12和13已经获得了余弦定理，但因为那时采用几何来运算，而非代数，因此，利用三边长度来判断直角的做法还没有。干脆，把这14个命题独立出去。

第一卷总体划分为五个部分：
1-4 等边三角形以及SAS全等
5-15 等腰三角形以及SSS全等
16-26 一般三角形以及ASA全等
27-32 第五公设详解
33-48 面积变换以及勾股定理