数据结构复习笔记《一》

数据结构复习笔记

一、数据结构基本概念和术语

①数据与元素通常有4类基本结构：

1.集合：结构中的数据元素之间除了“同属于一个集合”的关系外，别无其他关系。
2.线性结构：结构中的数据元素之间存在一个对一个的关系。
3.树形结构：结构中的数据元素之间存在一个对多个的关系。
3.图状结构或网状结构：结构中的数据元素之间存在多个对多个的关系

②算法的时间与空间复杂度：

一、概念:
时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)
比如：一般总运算次数表达式类似于这样：
a2^n+b*n3+cn^2+dnlg(n)+e*n+f
a ！ =0时，时间复杂度就是O(2^n);
a=0,b<>0 =>O(n^3);
a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推
实例:

for(i=1;i<=n;i++) {//循环了n*n次，当然是O(n^2)
    for(j=1;j<=n;j++) {
        s++;
    }
}   
for(i=1;i<=n;i++) {//循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)
    for(j=i;j<=n;j++) {
        s++;
    }
}   
for(i=1;i<=n;i++) {//循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2)
    for(j=1;j<=i;j++) {
        s++;
    }
}
i=1;k=0;
while(i<=n-1){ //循环了n-1≈n次，所以是O(n)
    k+=10*i;
    i++;
}
for(i=1;i<=n;i++) { //循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)
    for(j=1;j<=i;j++) {
        for(k=1;k<=j;k++) {
            x=x+1;
        }
    }
}
i=1;  
while (i<=n) {
    i=i*2;
}
/*解：语句1的频度是1,  
    设语句2的频度是t,  则：nt<=n;  t<=log2n
    考虑最坏情况，取最大值t=log2n,
    T(n) = 1 + log2n
    f(n) = log2n
    lim(T(n)/f(n)) = 1/log2n + 1 = 1
    T(n) = O(log2n)*/

另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：
log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)
所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的
二、计算方法:
求解算法的时间复杂度的具体步骤是：
　　⑴ 找出算法中的基本语句；
　　算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句，通常是最内层循环的循环体。
　　⑵ 计算基本语句的执行次数的数量级；
　　只需计算基本语句执行次数的数量级，这就意味着只要保证基本语句执行次数的函数中的最高次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。这样能够简化算法分析，并且使注意力集中在最重要的一点上：增长率。
　　⑶ 用大Ο记号表示算法的时间性能。
　　将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。
　　如果算法中包含嵌套的循环，则基本语句通常是最内层的循环体，如果算法中包含并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。例如：
　　for (i=1; i<=n; i++)
　　x++;
　　for (i=1; i<=n; i++)
　　for (j=1; j<=n; j++)
　　x++;
　　第一个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为Ο(n^{2)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n+n}2)=Ο(n^2)。
常见的时间复杂度:
常见的算法时间复杂度由小到大依次为：
　　Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n^2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2^n)＜Ο(n!)

其中，
1.Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1)。
2.O(n)，O(n^2)， 立方阶O(n^3),…， k次方阶O(n^k) 为多项式阶时间复杂度，分别称为一阶时间复杂度，二阶时间复杂度。。。。
3.O(2^n)，指数阶时间复杂度，该种不实用
4.对数阶O(log2n), 线性对数阶O(nlog2n)，除了常数阶以外，该种效率最高
例：算法：

for（i=1;i<=n;++i）
  {
     for(j=1;j<=n;++j)
     {
         c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^2
          for(k=1;k<=n;++k)
               c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^3
     }
  }

则有 T（n）= n²⁺ⁿ3，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n^3为T（n）的同数量级
则有f（n）= n^3，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c
则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n^3)