[note] 电磁场和微波理论课组（一）——电磁学（磁学部分）

1. 磁学

最初库仑假设磁单极子类似电荷一样独立存在，形成于磁棒两极。

但历史证明磁荷是不存在的，只可以作为一种等效模型使用。

1.1. 发展

Ørsted：电流的磁效应(受影响于Kant，自然力是统一的？)：历史性的突破

Ampère：做了进一步的一系列的实验，一切磁效应与电流相关。

Einstein：提出一个问题，往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许仅是一个数学上或者实验上的技能而已。而提出新问题，新的可能性，从新的角度看问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。

1.2. 产生的研究课题

• 毕奥萨伐尔定律：电磁相互关系的定量强度
• 安培：分子电流假说，从而说明磁的电流本质，环路定理
• 电流产生磁的逆效应——电磁感应
• 电磁相互作用的传递

1.3. Ampère的评价

他从错综复杂的现象和联系中提炼出磁现象的本质，并着力找出电流-电流之间的相互作用的定量关系，独具慧眼、观察深入。体现了正确抽象，洞察本质的重要性
解决问题上，面对难以测量的困难，巧妙设计了示零实验。同时使用矢量点乘、叉乘代表$\mathrm{d}{\ell }_1,\mathrm{d}{\ell }_2,r_{12}$之间的关系。
彰显了大师风采。

2. 最早的探查——电磁力

2.1. 电流元的场强—Biot-Savart-Laplace定律

$$\mathrm{d}\mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\mathrm{d}\mathbf{\ell }\times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}$$

2.2. 安培力

安培开始研究的，就是高度抽象的电流之间的磁作用关系。只不过相对于B-S定律晚。结合B-S定律，其电流-磁关系表达式
$$\mathrm{d}\mathbf{F}=I\mathrm{d}\mathbf{\ell }\times \mathbf{B}$$

2.3. 磁场的叠加原理的应用——载流回路的磁场

B-S定律+磁场叠加原理，任意可解
实际上，需要一定的对称性才可能判断方向。可简化为标量积分时才易解。
非对称性需要要用特殊函数

2.3.1. 载流直导线

统一变量到$\theta$，$\theta$是电流元与作用点连线同电流正方向的夹角。即我们求叉乘的那个$\sin \theta$，由BSL定律
$$\mathrm{d}B=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\mathrm{d}\ell \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}$$
其中$r=a\sin \theta ,\ell =-a\cot \theta ,\mathrm{d}\ell =\frac{a}{{\sin }^2\theta }$.
$$B={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\sin \theta \mathrm{d}\theta }{a}=\frac{{\mu }_0}{4\pi a}(\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2)$$

=============
特别地，无限长和半无限长
$${\theta }_1=0,{\theta }_2=\pi ,B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$$

$${\theta }_1=0,{\theta }_2=\frac{\pi }{2},B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}$$

==========

2.3.2. 载流圆线圈

$$\begin{gathered} \mathrm{d}B=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\mathrm{d}\ell \sin \theta }{r^2}\cos \alpha \\ =\frac{{\mu }_{0}I\mathrm{d}\ell }{4\pi r^2}\cos \alpha =\frac{{\mu }_{0}IR}{4\pi (R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}\ell \end{gathered}$$
其中$\underset{L^{+}}{\oint }\mathrm{d}\ell =2\pi R$

=================
$$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2r^3}$$

=================

2.3.3. 密绕螺线管

密绕螺线管内部，如图（北大王稼军老师的mooc）

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}B& =\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2r^3}\frac{\mathrm{d}\ell }{L}N\\ & =\frac{{\mu }_{0}I(-\sin \beta )n}{2}\\ B& =\frac{{\mu }_{0}nI}{2}(\cos {\beta }_2-\cos {\beta }_1)\end{array}$$

================

特别的，无限长螺线管
$$B={\mu }_{0}nI$$

================

2.3.4. 一般叠加问题的求解重点

• 确定方向
• 统一变元

2.3.5. 应用拓展

怎样产生匀强场？螺线管可以。但其并不能产生一个易于观察的实验环境，没有实验价值。
Helmholtz线圈：产生不太强的匀强场。
$a=R$时基本上可以保证匀强（约80%）。

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场的性质

有旋无源

3. 安培环路定理

表述：磁场闭路积分=穿过环路的电流强度的代数和的${\mu }_0$倍。
$$\oint B\cdot \mathrm{d}l={\mu }_0\underset{S}{\iint }j\cdot \mathrm{d}S$$

3.1. 证明

简洁版：
导线在垂直圆面内可得。垂直任意面分割。斜面可分解。在外可得。然后推广到任意面的多根无限长载流导线。最后推广到任意情况。

3.2. 安培环路定理的应用——载流导体磁场

由于安培环路定理中有微积分结构，所以如果是一个变化的场，情况不仅出现在难解上，同时会很难描述。

3.2.1. 无限长圆柱导体

$$B=\{\begin{array}{ll}\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r},& r>R\\ \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot \frac{r^2}{R^2}& r<R\end{array}$$

3.2.2. 密绕长直螺线管

管外任意点场强为0.
也可以求管内：
$$\oint B\cdot \mathrm{d}\ell =\underset{P}{\int }B\cdot \mathrm{d}\ell +\underset{\perp }{\int }B\cdot \mathrm{d}\ell +\underset{\perp }{\int }B\cdot \mathrm{d}\ell +\underset{\infty }{\int }B\cdot \mathrm{d}\ell =\underset{P}{\int }B\mathrm{d}\ell$$

3.2.3. 螺绕环

场的对称性：磁感应线和环共轴
和螺线管相似：
$$B=\frac{{\mu }_{0}IN}{2\pi r}$$

3.3. 适应条件与磁场分布的解法

跟Guass定理类似，需要保证较好的几何环境才好解，通常是较好的对称性。我们也可以简要地总结磁感应强度分布的解法：

• 安培环路定理
• 毕萨定律+叠加原理

4. 恒定磁场的高斯定理

4.1. 表述

通过磁场中任一闭合曲面的总磁通恒等于0.
$$\iint B\cdot \mathrm{d}S=0$$

4.2. 简要证明

先取一个磁感应管，取一个高斯面，这个此感应管穿入一次，穿出一次。
$$\mathrm{d}\Phi =\mathrm{d}{B}_i\cdot \mathrm{d}{S}_i=\mathrm{d}B\cdot \mathrm{d}S$$
其中B由磁感应本身的（均匀）性质决定，S由磁感应管横截面决定。故两处可以抵消。
任意一个电流元可以看成由许多磁感应管组成；任意载流回路可以堪称许多电流元串联而成。由叠加原理可得。

由Gauss公式：
$$\underset{S^{+}}{\iint }B\cdot \mathrm{d}S=\underset{V}{\iiint }\nabla \cdot B\mathrm{d}V=0$$
由于任意体积微元都具有实在意义，即不能为0.
$$\nabla \cdot B=0$$
无源。
自此，我们说明了磁场的所有基本性质。

4.3. 磁矢势

类比Stokes公式。建立非闭合的空间曲面的三维边界与通量的关系。A的环量。
$$\underset{L}{\oint }\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{\ell }=\underset{S}{\iint }\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$$

5. 磁场力的补充

5.1. 磁矩

对线框一条边，
$$L=\frac{l_1}{2}\times F_{BC}=I{l}_1{l}_{2}B\sin \theta =ISB\sin \theta$$
我们将$ISB\sin \theta$视作一个整体，定义为磁力矩。
$$\begin{gathered} L=M\times B \\ M=IS\times \hat{i} \end{gathered}$$
其中$M$即是磁矩

注意对比同电偶极矩在各种角度下的平衡关系。

5.2. 磁感应强度的另一种定义——洛伦兹力

类比库仑力定义电场强，我们可以用洛伦兹力定义磁感应强度。
$$\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$$

所以安培力本质是洛伦兹力——疑点在于洛伦兹力的对象是负电子，而安培力是对金属导体。

但不能说Lorentz力的总和是安培力。应当是电子受Lorentz力的合理等于金属骨架受到的冲力。

由于我们考虑的电流是定向漂移运动的，利用$I=nqSv$
$$\mathrm{d}\ell \cdot \mathbf{v}=\mathrm{d}\mathbf{\ell }\cdot v$$
可推

5.3. Hall效应

$$U_H=\mathbf{v}\times \mathbf{B}b=\frac{\mathbf{I}\times B}{nqd}=k\frac{\mathbf{I}\times B}{d}$$
导体横截面为$bd$，高为$d$
载流子电性不同，Hall电场的方向不同

6. 磁化

磁场->磁介质->磁化->后果影响外场

6.1. 两种研究方法

• 磁荷观点
• 分子环流假说（我们课程的起点）
  严格的磁性必须建立在量子力学基础上。我们在此只是建立一种经典的物理图像。

6.2. 几个基本概念

6.2.1. 磁性

物质的基本属性，多数物质一半无磁性

6.2.2. 磁介质

对磁场有相应，反过来影响磁场的物质
一般物质在较强磁场的作用下都有所响应

6.2.3. 磁化

在外磁场的作用下，原本无磁性的物质，变得有磁性。磁介质被极化后，产生附加磁场，并改变原有空间磁场的分布。

6.3. 分子电流模型

将磁的种种现象归入电现象

6.3.1. 磁荷模型

完全类比库仑定律

6.3.2. 分子电流观点

分子磁矩
$$m_{molecule}=m_l+m_s$$
轨道磁矩$m_l$和自旋磁矩$m_s$

6.4. 磁化的解释

6.4.1. 分子磁矩

磁化就是将分子电流提供的分子磁矩整齐化

磁化强度矢量就是分子磁矩之和

6.4.2. 磁化电流

介质对磁场作用响应并产生磁化电流（束缚电流）
这个电流也可以产生磁场，满足B-S定律，并反过来影响原有磁场

各向同性的磁介质只有介质表面处分子电流未被抵消，形成磁化电流（类比格林公式）

区别于传导电流的定向流动，是电荷迁移的结果，产生焦耳热；磁化电流是大量分子电流统计平均的结果，绕核，并不发生阻碍生热。它们都产生电场，服从B-S定律。另外我们还有极化电流和位移电流

6.5. 磁化强度矢量M与磁化电流I’的关系

$$\underset{L}{\oint }M\cdot \mathrm{d}\ell =\sum _{L内}{I}^{\prime }$$
具体理解是，在边界附近的分子电流才会对总体做贡献。（要重视这个理解：作业7.3中的三个面很有趣，关键点要明确：磁化与原场同向，然后剩下的都是右手的事情）
$$\nabla \times M=j_m$$
可以延伸出面磁化电流密度：
$$\begin{gathered} \underset{L}{\oint }M\cdot \mathrm{d}\ell =\underset{L_{面内}}{\int }M\cdot \mathrm{d}l+0+0+0 \\ {M}_t\Delta l=i^{\prime }\Delta l \\ {M}_t=i^{\prime } \end{gathered}$$
其中的0，分别是面外、垂直的情况。

6.5.1. M和B的关系

大体同向。线性和非线性，

传导电流$I_0$产生一个分场，是介质磁化$M$产生磁化电流$I^{\prime }$以及相应磁化场$B^{\prime }={\mu }_0{i}^{\prime }$
总场强等于$B_0+B^{\prime }$

---

7. 有介质磁场

7.1. 有介质的安培环路定理

$$\begin{gathered} \underset{L}{\oint }B\cdot \mathrm{d}\ell ={\mu }_0\left(\sum I_0+\sum I^{\prime }\right) \\ ={\mu }_0(\sum I_0+\oint M\cdot \mathrm{d}\ell ) \end{gathered}$$
移项得:
$$\underset{L}{\oint }\left(\frac{B}{{\mu }_0}-M\right)\cdot \mathrm{d}\ell =\sum _{L内}{I}_0$$

7.2. 磁场强度

定义$\frac{B}{{\mu }_0}-M$为磁场强度$H$。从而我们得到磁场强度和传导电流的关系。

这与电场强度和电势的公式有某种相似性。

磁场强度在磁荷理论下可用，这里不做深入讨论。

7.3. H和M的关系

已知$I_0$，可能求$H$，但因为$M$未知，无法求出$B$
类比E和D的关系，我们建立如下关系。

对于各向同性线性磁介质：
$$M={\chi }_{m}H$$
（特别注意这个式子的条件性）
结合定义，得
$$B={\mu }_0(H+M)={\mu }_0(1+{\chi }_m)H={\mu }_0{\mu }_{r}H$$
其中${\chi }_m$是磁化率，${\chi }_m>0$是顺磁性，${\chi }_m<0$是抗磁性。${\mu }_r$是相对磁导率

当$M,H$无单值关系时，${\chi }_m,{\mu }_r$不再引用

7.4. 法拉第之前的探索

7.4.1. Colladon（科拉顿）失败的原因

受磁产生稳态电流的思想指导，虽然我们现在看来“隔壁屋”的想法很可笑，但是，在当时确是伟大的突破。这种不彻底的动生想法，注定了柯拉顿的失败。
或许不是他不请助手，暂态还没有在他的思想中产生影响。

7.4.2. Arago（阿喇果）铜盘实验

铜盘实验
发现电磁阻尼现象，但无法解释

7.5. 法拉第的观察

可以产生感应电流的情形
变化的电流，变化的磁场（感生）
运动的稳恒电流、运动的磁铁（场动生）
磁场中运动的导体（导体动生）

7.6. 法拉第的观点

7.6.1. 近距作用观点

对离线的研究甚至比对产生力线的源的研究还要重要。

7.6.2. 关注动态变化

一般预期（类似Colladon）
磁体变化——电紧张状态变化——感应电动势

“我打算把振动理论应用于磁现象……也是官现象最可能的解释……振动理论应用于电感应”

这里体现了指导思想对科学研究的重要意义。

7.7. 法拉第定律

磁通的变化引起感应电动势
$$\epsilon =-N\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}$$
说明：

• 定律不限定引起磁通变化的方式
• 这里的$\Phi$是总磁通

7.8. 楞次定律

更好地说明感应电流的方向
这是一个简明直观的科学哲学原理，体现着能量守恒定律，可以辅助分析复杂的现象

7.9. 两种机制——感生和动生

7.9.1. 动生电动势

电动势：反映电源性能，是电源内部非静电力的量度

磁场对运动电荷的洛伦兹力作用的积分。
$$\begin{gathered} F_B+F_E=0, \\ q(v\times B)+qE=0 \\ E=vB. \end{gathered}$$
然后沿长度积分可得
$${\epsilon }_m=Blv.$$
洛伦兹力永不做功，这里作非静电力做功产生感应电动势，是因为对电荷的沿导线和垂直导线两个方向的速度都会产生洛伦兹力，其中一个对电子做正功，另一个宏观表现为安培力做负功，二者总共为0。

7.9.2. 感生电动势

这是一个重要的话题，不仅是因为高中少涉及，更重要的，它体现着Maxwell的洞见，以及电磁场理论的一个重要进展，电场不一定是有源无旋场？

8. 涡旋电场

8.1. 涡流的引入

傅科（1851）发现，移动的磁场和金属导体相交，或者由移动的金属导体与磁场垂直相交，会在导体内部产生一个涡旋的电流。
后来我们发现，在变化的磁场中（也被用在电磁加热过程当中。），（被加热的）导体不相对于磁场运动，非静电力显然不是洛伦兹力，那么这里的非静电力是什么？

补充：实验证明，这种涡流和导体种类无关。

8.2. 力线思想

这是场的暂态观点的延伸。Faraday实验中“提供的存在力线的美妙的例子”影响了Maxwell，促使他“相信力线是某种实际存在的东西”。
Maxwell天才地察觉其中由于磁场变化而产生的感应电动势现象预示着电磁场的“新效应”。
借助水波的比喻引入了涡旋电场

8.3. 涡旋场

和感生电动势的关系式
$$\mathrm{d}{\epsilon }_i=E_v\cdot \mathrm{d}\ell$$

结合法拉第电磁感应定律得：
$$\underset{L^{+}}{\oint }{E}_v\cdot \mathrm{d}\ell =-\underset{S^{+}}{\iint }\frac{\partial B}{\partial t}\cdot \mathrm{d}S=\underset{L^{+}}{\oint }\left(-\frac{\partial A}{\partial t}\right)\mathrm{d}l$$
说明：

1. 环量不为0，故不能使用电势描述
2. Maxwell始终对磁矢势无物理意义的想法不以为然（纵然在很长时间里，人们将磁矢势作为电磁场的辅助量。近代Maxwell的观点重新受到重视，孕育着规范场）。这个变形，给出了磁矢势的物理意义，它并不仅仅是方便计算而给出的：
   1. 磁矢势是涡旋电场对时间的“负梯度”。
   2. 磁矢势（磁量）的时间变化率直接关联场强，侧面反映了电场的涡旋性

补充：磁标势是磁场强度H的梯度

8.4. 涡旋场的性质

8.4.1. 和势场的对比

项目	势场	涡旋场
产生原因	静电荷激发	变化的磁场
电力线	不闭合	闭合
性质	旋度不为0	旋度为0

8.4.2. 其他说明

• 涡旋电场对电荷有作用力
• 不依靠电荷或线圈而存在
• 存在于任何磁场变化的空间中(不一定需要环路)。
• 构成左旋系统（符合Lenz定律，否则会类似无限自激），与恒磁场相反

8.5. 电磁统一性（待更新）

8.6. 涡流应用

应用：金属湛火（大块金属电阻小，涡流大），电磁阻尼，电磁驱动，抗磁性（磁屏蔽），迈斯纳效应，趋肤效应（由于涡流削弱中部电流，加强外部电流，高频信号的趋肤效应很明显）

8.7. 电场总结

$$E=E_{势}+E_{旋}=-\nabla U+\left(-\frac{\partial A}{\partial t}\right)$$
启示：

1. 理论研究中大胆的假设与小心求证的探索过程，为Faraday“美妙的例子”“提供数学基础的愿望”引导得出的清晰的概念、准确的定量表达式，为Hertz等人最终检验其真伪提供了可能，纵然之前一直受人怀疑。
2. 由于寻找感生电动势的非静电力，Maxwell预言了涡旋电场。这个概念也提出了一个深刻的问题：
   • $B(t)——E_{旋}$的逆效应是什么？（这个问题的研究导致位移电流的假定）
3. 超距和近距的物理观点，在研究对象、提出问题、对相同现象的理解等都存在差异。这种思想的差异，往往引导着不同的探索方式，影响着物理学史的发展（比如跑失良机的Colladon）

8.8. 解题提示

求解均是使用Lenz定律判定方向，大小由$E\mathrm{d}\ell$对长度积分确定。

9. 电磁感应的电路应用

9.1. 电感器

反映电路中磁场的变化（这是一个功能黑盒，帮助我们更清晰地分析电路磁场）
自感磁通和全磁通
$$\begin{gathered} \Phi =LI \\ \Psi =\sum \Phi \end{gathered}$$
自感电动势
$$\epsilon =-\frac{\mathrm{d}\Psi }{\mathrm{d}t}=-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$$
例1 密绕螺线管的自感系数
$$\begin{gathered} \Psi =nl\cdot {\mu }_{0}nI\cdot S={\mu }_{0}I{n}^{2}lS \\ L=\frac{\Psi }{I}={\mu }_0{n}^{2}lS \end{gathered}$$
增加铁芯后，相当于增加了磁介质，导体环内磁场增强为原来的${\mu }_r$倍

9.1.1. 互感现象

$$M_{12}=M_{21}=M$$
由此可推，在无漏磁理想条件下，
$$N_2\frac{L_1}{N_1}=N_1\frac{L_2}{N_2}$$
即$M^2=L_1{L}_2$

实际考虑漏磁则$M=\sqrt{L_1{L}_2}$