平行平面层声波波动方程

平行平面层波导的声传播波动方程

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声波在边界受限制的空间中传播，被称为波导中的声传播。声波在波导中传播，由于边界的限制，在边界限制方向取某些特定的驻波形式，而在无限制方向为行波形式。成为给定波导中的正简波。

假设简谐声波在$x=0$和$x=h$平行界面所限介质中传播，建立如下图的坐标。

则波动方程为

• $\frac{{\partial }^{2}p(x,z,t)}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}p(x,z,t)}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}p(x,z,t)}{\partial t^2}=0$

对于简谐声波，$p(x,z,t)=p(x,z)e^{j\omega t}$，则有

• $\frac{{\partial }^{2}p(x,z)}{\partial x^2}+\frac{\partial p(x,z)}{\partial z^2}+k^{2}p(x,z)=0$

方程式的解为

• $p(x,z)=\sum _n(A_n{e}^{-j{k}_{n{x}^x}}+B_n{e}^{j{k}_{n{x}^x}})(C_n{e}^{-j{k}_{n{z}^z}}+D_n{e}^{j{k}_{n{z}^z}})$

式中：$k_{nx}^2+k_{nz}^2=k^2$

在z方向只有正向传播的行波，所以$D_n=0$在$x$方向收到限制，声波在$x=0$和$x=h$的界面反射，因此x方向反应驻波的特点。

• $p(x,z)=\sum _n{A}_{{}_n}^{{}^{\prime }}\cos (k_{nx}x)+B_n^{{}^{\prime }}\sin (k_{nx}x)]e^{-j{k}_{nz}Z}$

对于绝对硬边界条件有

• $u_x(x,z){|}_{x=0,x=h}=0$

于是带入公式可求

• $p(x,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{A}_n\cos (\frac{n\pi }{h}x)\cdot e^{-jz\sqrt{k^2+{(\frac{n\pi }{h})}^2}},n=0,1,2,3...$

带入时间因子

• $p(x,z,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{A}_n\cos (\frac{n\pi }{h}x)\cdot e^{-jz\sqrt{k^2+{(\frac{n\pi }{h})}^2}}\cdot e^{j\omega t},n=0,1,2,3...$

由上述公式可知各阶简正波的声压幅值为

• $A_n\cos (\frac{n\pi }{h}x)$

令$A_n=1$仿真得到各阶简正波声压分布图

clc
clear
h=10;
c=1500;
f=300;
omega=2*pi*f;
k=omega/c;
An=1;
x=0:0.1:10;
z=0;
% 设简谐声波在x=0和x=10平行界面所限介质中传播
figure('Name','简谐声波平行界面振动','NumberTitle','off');
for n=0:3
    subplot(1,4,n+1)
    hold on;
    plot(z-cos(n*pi*x/h),x)
    hold on;
    plot(z+cos(n*pi*x/h),x)
    xlabel('z')
    ylabel('x')
    str=num2str(n);
    title(str)
    axis([-1.5 1.5 0 10])
end

前四阶简正波场中某质点运动位置

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