0202听课笔记

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点分治

重心$G$,$|G|\le 2$。

重心子树$size\le n/2$

求一次$O(M(n))$，时间复杂度$O(M(n)\log n)$

边分治

选一条边分成两块。

但并不是所有图都能均匀分。（如菊花图）

所以不能直接边分治。要增加虚点，使得每个点的度数不超过$3$。

左上的菊花三度化转化成右下的图。其中如果边上有信息可存在实线的边中。

三度化后一定找到一条边满足性质：$\frac{2}{3}n+1...$ （没听清。）

例题

• 路径问题：

  • $1.$容斥
  • $2.$逐个加入。如果逐个加入的时候对已加入进来的子树$size$和（最大值）有依赖，则不能逐个加入。复杂度不对。
  • $3.$Huffman树合并：每次合并两个最小的儿子。带个$\log$。

• 例题：每个节点有个括号，问有多少有向路径构成了合法的括号序列。

  • 点分治。然后随便统计。（关键点到某个点构成的路径抵消后肯定是若干右括号+若干左括号，那么数量相同的全是左括号就能和全是右括号的匹配起来）

• 例题：无边权求距离为$1$到$n$的点对。

  • 点分治。容斥一下。${\sum }_{i<j}{p}_i{p}_j=\frac{({\sum }_i{p}_i{)}^2-({\sum }_i{p}_i^2)}{2}$

• 例题：树上背包问题。选联通块，使得$\sum v_i\le V$且使$\sum w_i$最大。要求时间复杂度$O(nV\log n)$

  • 点分治。 先考虑强制根，直接树形DP不行，无法合并两棵子树背包。方法是在DFS序上DP。
  • $r_u$表示$u$的子树DFS区间的右端点+1。那么$dp(i,j)$表示$i$点之后选了$j$容量的最大值。那么$i$点选了就可以继续往后$i+1$选；否则必须跳过此子树，直接到$r_i$。但这样只能算必须选根节点的方案，所以套一下点分治就完了。

• 例题：HDU CCPC2018 L The Hanged man。每个点有代价和权值（同上一题），求选出来的点不相邻时，容量等于$1$到$V$所有值时的最大价值。$V\le 10000$，$n\le 100$

  • $O(n^{2}V)$。在点分树的DFS序上DP。$dp(i,j,S)$表示前$i$个物品，容量是$j$，然后$S$表示某个物品选没选。所以我们喜提$O(nV{2}^n)$的算法。
    但发现点分时如果到下一颗子树上一棵子树是没必要存状态的。唯一需要的就是当前点到根的路径上关键节点，有$log$个，所以只需要$O(nV{2}^{\log n})=O(n^{2}V)$。

点分树

建出点分治的树。

• 例题：给出树，点权$b_i$，多个询问，给出$x,r$，求${\sum }_{dis(v,x)\le r}{b}_v$
  • 点分树每个地方存一存 树状数组搞一搞。存个vector。可修改。
• 例题：给出树，节点有黑白颜色，询问最远黑点之间的距离。有修改颜色。
  - 无边权可以欧拉序括号序列线段树。
  - 带边权只能点分树。开multiset。难。
• 例题：修改$a_i$，查询$mi{n}_u{\sum }_i{a}_i\cdot dis(i,u)$，$de{g}_i\le 20$
  • 本人博客：[ZJOI2015]幻想乡战略游戏
• 还有两道例题…（未写，拖更）

分块（lxl300页课件dls选讲…）

• 例题：区间加，区间求$\le x$的数的个数。
  • 直接每个块维护OV，查询整块二分，零散的暴力；修改的话整块打标记，散块重构。块的大小取$\sqrt{n\log n}$时，总时间复杂度为$O(M\sqrt{n\log n})$。分析的时候$log$里的$log$忽略。
• 例题：区间加，区间求第$k$大。
  • 二分套前面的题，多一个$log$，复杂度为$O(M\sqrt{n\log n}\cdot \log n)$。被出题人卡了。所以要考虑优化。
  • 将块大小设为$\sqrt{n}\log n$，每次修改复杂度为$O(\sqrt{n}\log n)$
  • 二分答案，每次查询（此处查询指二分后的查询有多少比$x$小）有$\sqrt{n}/\log n$个整块，这部分复杂度为$O(\sqrt{n})$单次；
  • 有$\sqrt{n}\log n$个零散点，这部分复杂度为$O(\sqrt{n}\log n)$单次。必须想办法优化掉零散点的复杂度。
  • 方法是预先把零散的两个快归并起来成为一个块，那么只需要在这上面二分就行了。
  • 最后总时间复杂度为$O(m\sqrt{n}\log n)$
• 根号平衡1：维护一个集合，支持$O(1)$插入一个数，$O(\sqrt{n})$查询k小。
  • 离散化后值域分块，维护第$i$个块里面有多少数，查询的时候从第一个块开始往右跑，做多走过$O(\sqrt{n})$个整块和$O(\sqrt{n})$个零散的数。
• 根号平衡1：维护一个集合，支持$O(\sqrt{n})$插入一个数，$O(1)$查询k小。
  • 值域分块，后对每个数维护一下其在哪个块里面，对于每个块维护OV，那么修改只会改变$O(\sqrt{n})$个数所从属的块。
  • 查询的时候定位到其所属于的块，然后找到其在其块中对应的值。

暂时写到这，下面的还没看第二遍，第一遍听的云里雾里。
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莫队

时间复杂度$O(m\sqrt{n}+n\sqrt{n})$

• 例题：

  • 莫队直接做。

• 例题：在某个区间内出现次数第k1少的价值是多少，可能多个不同的价值出现次数均为第k1少，输出其中第k2小的，保证输入合法。注意内存限制。

  • 莫队，做法待更。

• 例题：

  • 没听见，待更

• 例题：求区间逆序对个数。

  • 二次离线莫队。传送门。大概懂了

• 例题：[MtOI2019]手牵手走向明天，神题，待更

树上莫队

待更

无删除莫队

freopen博客

其他题

• 例题：
• 例题若干（未记载）

https://www.cnblogs.com/suwakow/protected/p/12262195.html放一下大佬博客。