【笔记】离散型随机变量在R语言中的概率密度和分布函数

1. R语言中的概率密度以及分布函数

在R中，概率函数形如：

其第一个字母表示其所指分布的某一方面：

d Density的缩写，表示密度函数。举个例子，标准正态分布x=0对应的值可以用dnorm(0)计算

p Probability的缩写，表示概率函数。举个例子，标准正态分布从无负穷大到0的概率，可以用pnorm(0)计算

q Quantile的缩写，表示分位函数。举个例子，如果知道标准正态分布从负无穷大到x的概率是0.9678，想要知道这个x的值，可以用qnorm(0.9678)计算

例如，70%的人的年龄是多少？

r Random的缩写，表示随机函数，用于随机生成符合正态分布的数值。举个例子，如果想随机生成10个符合标准正态分布的函数，可以用rnorm(10)来获得

2. 概率质量(/密度)函数probability mass function

针对离散型变量

f(x)=P,计算变量x=某个值的概率

p: x≤某个值的概率

d: x=某个值的概率

注：针对连续型变量，某一个X的变量对应的概率固定为0

3. 累计分布函数(Cumulative Distribution Function)

对于离散型密度函数为： =

f为随机变量X的概率质量函数

例如：掷硬币，定义X=a1时为head表示为1，X=a2时为tail表示为0

概率质量函数为：

f(a1)=1/2

f(a2)-1/2

基于概率密度函数计数：当X<=1时的概率为多少（表示要么时head,要么时tail的概率）

F(X<=1)=1/2+1/2=1

4. 离散变量（伯努利随机变量）分布：0-1分布

0-1分布就是随机试验次数n=1情况下的二项分布。即只先进行一次事件试验，该事件发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p。这是一个最简单的分布，任何一个只有两种结果的随机现象。

类似掷硬币时，求当掷一次硬币X=1(人头朝上)，或者0（人头朝下）的概率。

f（X）=p或者1-p(X=1,或者0)

E(X) = p

Var(X) = (1-p)p

6. 离散变量（n次伯努利随机变量）分布：二项分布

二项分布即重复n次独立的伯努利试验

在每次试验中只有两种可能的结果（因变量Y=0或者1），而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其他各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验。

当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。其概率记为p

例如：抛了100次硬币，n=100，其中20次为正面。表示：Y=1, X=20, n=100

可以求出（X=20,Y=1）的概率

注：括号内是一个整体，不是求Y=1的概率，而是P(Y=1|X=20)，X是n次试验之中，Y=1的次数

不是求正面的概率，而是100次试验中20次正面的概率

概率质量函数：

其中，q=1-p, ， p=单次试验,Y=1的概率

E(X)=np

Var(X)=np(1-p)

6. 二项分布(The Binomial Distribution)的R语言实现

样本：最近120日（次），创业板股票上涨（记为Y=1）天数为40天，下跌（记为Y=0）80天。根据古典概率和0-1分布，p=40/120=0.33，即单日（1次试验）上涨的概率为33%。求未来100天（n=100），有20（X=20）日上涨（Y=1）的概率。

dbinom(20,100,0.33)

[1] 0.001532549

计算：X=1，2，3…100的概率（100日中有1日，2日，3日…100日上涨的各自的概率）

dbinom(1:100,100,0.33)

[1] 1.994892e-16 4.863666e-15 7.825421e-14
9.346706e-13 8.838915e-12 6.893034e-11 4.559103e-10 2.610427e-09 1.314304e-08

[10] 5.890830e-08 2.373916e-07 8.671881e-07
2.891291e-06 8.849569e-06 2.499013e-05 6.538928e-05 1.591388e-04 3.614272e-04

[19] 7.682811e-04 1.532549e-03 2.875571e-03
5.085899e-03 8.495200e-03 1.342432e-02 2.010041e-02 2.855828e-02 3.855131e-02

[28] 4.950432e-02 6.053642e-02 7.056558e-02
7.848170e-02 8.335020e-02 8.459424e-02 8.210617e-02 7.625895e-02 6.781735e-02

[37] 5.777743e-02 4.717960e-02 3.694201e-02
2.774786e-02 2.000028e-02 1.383815e-02 9.193409e-03 5.865943e-03 3.595444e-03

[46] 2.117369e-03 1.198206e-03 6.516364e-04
3.406056e-04 1.711162e-04 8.262853e-05 3.834969e-05 1.710671e-05 7.333472e-06

[55] 3.020953e-06 1.195660e-06 4.545948e-07
1.659985e-07 5.820235e-08 1.958900e-08 6.326762e-09 1.960169e-09 5.823389e-10

[64] 1.658199e-10 4.523399e-11 1.181485e-11
2.953054e-12 7.058552e-13 1.612336e-13 3.516887e-14 7.319147e-15 1.451995e-15

[73] 2.743086e-16 4.929588e-17 8.417087e-18
1.363727e-18 2.093568e-19 3.040601e-20 4.170558e-21 5.392157e-22 6.557626e-23

[82] 7.483858e-24 7.993907e-25 7.968340e-26
7.387680e-27 6.346584e-28 5.030231e-29 3.660056e-30 2.430626e-31 1.463213e-32

[91] 7.919635e-34 3.815918e-35 1.616759e-36
5.929998e-38 1.844681e-39 4.732158e-41 9.611399e-43 1.449175e-44 1.441965e-46

[100]
7.102218e-49

plot(dbinom(1:100,100,0.33))

7. 二项分布累计分布结果

例如求：未来100日内，（X<=30）创业板指数上涨的概率

用相加的方法（P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=30)）J计算二项分布累计分布函数的结果

sum(dbinom(1:30,100,0.33))

[1]
0.300622

---

或者直接用概率函数计算：

pbinom(30,100,0.33)

[1]
0.300622 约等于30%

应用：P(X>30)≈70%，即预测上涨天数>30天的概率有70%，如果发现前70天上涨天数较少，那么后30天上涨的概率就会很大。