数据结构与算法之美 | 学习笔记19 —— 二叉树基础

一、树

首先明确概念：A是B的父节点，B是A的子节点，B、C、D相互为兄弟节点，没有父节点的E叫根节点，没有子节点的G、H、I、J、K、L叫叶子节点。

这里有一些个举例：

二、二叉树（Binary Tree）

二叉树，每个结点最多有两个子节点，分别为左子节点和右子节点。

上图中编号2除叶子结点外，每个都有2个子节点，为满二叉树，编号3除了最后一层，结点个数都达到最大，最后一层叶子结点靠左排列，为完全二叉树。

1. 存储二叉树

链式存储法

每个节点有三个字段，一个存储数据，另两个指向左右子节点的指针。这种存储方式比较常用。

顺序存储法

根节点存储在下标$i=1$的位置，左子节点存储在$2\ast i=2$的位置，右子节点存储在$2\ast i+1=3$的位置，依次类推，I节点的父节点D的下标$i=4$，I节点就存储在$4\ast 2+1=9$的位置。
这种方法对于非完全二叉树，会有很多位置为空，浪费数组资源。

2. 二叉树的遍历

二叉树的前、中、后序遍历是一个递归过程。
前序遍历：对树的任意节点，打印顺序：这个节点->它的左子树->它的右子树
中序遍历：对树的任意节点，打印顺序：它的左子树->这个节点->它的右子树
后序遍历：对树的任意节点，打印顺序：它的右子树->这个节点->它的左子树

前序遍历的递推公式：
preOrder(r) = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)

中序遍历的递推公式：
inOrder(r) = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)

后序遍历的递推公式：
postOrder(r) = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r

三种遍历方式的代码：

void preOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
  preOrder(root->left);
  preOrder(root->right);
}

void inOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  inOrder(root->left);
  print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
  inOrder(root->right);
}

void postOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  postOrder(root->left);
  postOrder(root->right);
  print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
}

二叉树遍历的时间复杂度
从遍历顺序图，每个节点最多会被访问两次，遍历操作的时间复杂度跟节点数n成正比，因此整个二叉树遍历的时间复杂度为$O(n)$。