算法与数据结构学习笔记系列——递归（1）

先在文章的开头自我声明下，由于我水平有限，所以可能写出来的东西有些小问题什么的，希望看到的同学能够指正下，能够一起进步。

正文开始。

其实之前也看到过很多用递归方法解决的问题，很多情况下我们知道这题得用递归的方法进行解决，但是就是写不出完整的程序，由此我把递归问题分为基础性和复杂性两类。复杂性问题我之后研究好了以后再分享给大家我个人的经验，今天主要谈谈基础性问题。

首先，什么是基础性的递归问题。在我看来就是能够用大脑一步想出来递归表达式的，可能这句话看上去有点废话的感觉，举几个经典例子我想大家应该就能明白我说的了。

问题一：给定整数N，返回斐波那契数列的第N项。

解决：菲波那切数列，就是形如1,1,2,3,5,8···的数列，它的特征在于第三项等于前两项的和，所以我们可以轻易地写出以下的递推式f(N)=f(N-1)+f(N-2)，这是很容易理解的。但是还有一个问题，递归必须得有结束，在这里就是当式子递归到最前面两项时返回，所以很明显，N=1和2时就得返回，当然如果一开始输入的N<1，那么直接就是0了。可以写出以下的程序：

 public int f(int N)
    {
	   if(N < 1)
	   {
		   return 0;
	   }
	   else if(N == 1 || N == 2)
	   {
		   return N;
	   }
	   return f(N-1)+f(N-2);
	}

问题二：假设农场中成熟的母牛每年只会生1头小母牛，而且永远不会死，第一年农场有1只成熟的母牛，从第二年开始，母牛开始生小母牛。每只小母牛3年之后成熟又可以生小母牛。给定整数N，求出N年后小母牛的数量。

解决：类似于上一题的斐波那契数列，我们可以站在第N年的角度考虑这个问题：今年的母牛数量是怎么来的？我们首先肯定能知道，至少去年的母牛今年肯定在。这样f(N)至少等于f(N-1)。然后由于题中又说母牛可以生小牛，且每只小母牛三年成熟后才可以生小牛，所以还会增加3年前母牛数量的小母牛。所以f(N）还需要加上f(N-3)。简单这样解释可能还是无法很清楚的解释明白为什么增加的是f(N-3)，咱们也可以仔细分拆开来开。由于今年的牛必定包括去年的牛的数量，而且只有在今年成熟的牛才能生小牛，去年的牛中必定是存在今年无法成熟的牛的，那么问题的关键在于今年到底多少牛是成熟的。那么只有三年前新生的小牛和当时已经成熟的母牛在今年是成熟的，这正好是当年牛的数量，也就是f(N-3)。所以f(N)=f(N-1)+f(N-3)。具体的程序就不列的，和上一题很类似。在N=1，2，3时返回。

问题三：给定整数N代表台阶数，一次可以跨2个或者一个台阶，返回有多少种走法。

解决：还是同样的思路，假设我现在在第N阶台阶上，我们得考虑这第N阶台阶是怎么走到的。可能性一是跨了一个台阶上来的，那么走法一共是f(N-1)，可能性二是跨了两阶台阶上来的，那么走法是f(N-2)，所以可以列出f(N)=f(N-1)+F(N-2)。

综上所述，对于简单的递归问题，我们不妨将自己设身处地到第N时的情况，考虑这f（N）是怎么来的，这样也许对我们解题有一定帮助。当然，递归的效率其实是非常低的，上面三道题其实都有高效的动态规划的解法，在以后我学习了后分享给大家。

最后，如果有同学看到了这个博客，还是希望能够指出我的问题所在，毕竟这只是我自己的学习心得，还有需要进步的地方。也希望大家能给我推荐下优秀的关于递归的博客，好让我继续学习下，大家一起进步。